Номер 2.107, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.107. Разложите многочлен на множители:

1) $ax+ay+bx+by;$

2) $ax-ay+bx-by;$

3) $a^2+ab+ac+bc;$

4) $ax+ay+6x+6y;$

5) $1-bx-x+b;$

6) $ab+2b-2a-4;$

7) $x^2+xy+ax+ay;$

8) $am-an+m-n;$

9) $3x-3y+ax-ay;$

10) $ab-a^2+2a-2b.$

1) Для разложения многочлена $ax+ay+bx+by$ на множители сгруппируем слагаемые: первые два и последние два.
$(ax+ay)+(bx+by)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй — общий множитель $b$.
$a(x+y)+b(x+y)$
Теперь у нас есть общий множитель $(x+y)$, который мы также выносим за скобки.
$(a+b)(x+y)$
Ответ: $(a+b)(x+y)$.

2) Сгруппируем слагаемые в многочлене $ax-ay+bx-by$:
$(ax-ay)+(bx-by)$
Вынесем общие множители из каждой группы: $a$ из первой и $b$ из второй.
$a(x-y)+b(x-y)$
Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки.
$(a+b)(x-y)$
Ответ: $(a+b)(x-y)$.

3) В многочлене $a^2+ab+ac+bc$ сгруппируем слагаемые:
$(a^2+ab)+(ac+bc)$
Вынесем общие множители $a$ и $c$ из каждой группы соответственно.
$a(a+b)+c(a+b)$
Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки.
$(a+c)(a+b)$
Ответ: $(a+c)(a+b)$.

4) Сгруппируем слагаемые в выражении $ax+ay+6x+6y$:
$(ax+ay)+(6x+6y)$
Вынесем общие множители $a$ из первой группы и $6$ из второй.
$a(x+y)+6(x+y)$
Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки.
$(a+6)(x+y)$
Ответ: $(a+6)(x+y)$.

5) В многочлене $1-bx-x+b$ перегруппируем слагаемые для удобства и сгруппируем их:
$(1-x)+(-bx+b)$
Вынесем из второй группы общий множитель $b$.
$(1-x)+b(-x+1) = (1-x)+b(1-x)$
Вынесем общий множитель $(1-x)$ за скобки.
$(1+b)(1-x)$
Ответ: $(1+b)(1-x)$.

6) Сгруппируем слагаемые в многочлене $ab+2b-2a-4$:
$(ab+2b)+(-2a-4)$
Вынесем общие множители из каждой группы: $b$ из первой и $-2$ из второй.
$b(a+2)-2(a+2)$
Вынесем общий множитель $(a+2)$ за скобки.
$(b-2)(a+2)$
Ответ: $(b-2)(a+2)$.

7) Сгруппируем слагаемые в многочлене $x^2+xy+ax+ay$:
$(x^2+xy)+(ax+ay)$
Вынесем общие множители $x$ и $a$ из каждой группы.
$x(x+y)+a(x+y)$
Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки.
$(x+a)(x+y)$
Ответ: $(x+a)(x+y)$.

8) Сгруппируем слагаемые в выражении $am-an+m-n$:
$(am-an)+(m-n)$
Вынесем общий множитель $a$ из первой группы. Вторую группу можно представить как $1 \cdot (m-n)$.
$a(m-n)+1(m-n)$
Вынесем общий множитель $(m-n)$ за скобки.
$(a+1)(m-n)$
Ответ: $(a+1)(m-n)$.

9) Сгруппируем слагаемые в многочлене $3x-3y+ax-ay$:
$(3x-3y)+(ax-ay)$
Вынесем общие множители $3$ и $a$ из каждой группы.
$3(x-y)+a(x-y)$
Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки.
$(3+a)(x-y)$
Ответ: $(3+a)(x-y)$.

10) В многочлене $ab-a^2+2a-2b$ сгруппируем слагаемые. Например, первое со вторым и третье с четвертым.
$(ab-a^2)+(2a-2b)$
Вынесем общие множители из каждой группы: $a$ из первой и $2$ из второй.
$a(b-a)+2(a-b)$
Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $(a-b) = -(b-a)$. Заменим это во втором слагаемом.
$a(b-a)-2(b-a)$
Теперь вынесем общий множитель $(b-a)$ за скобки.
$(a-2)(b-a)$
Ответ: $(a-2)(b-a)$.