Вопросы, страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

2. В каких случаях разложение многочлена на множители выполняют способом группировки?

По рис. 2.2 найдите:

1) сумму площадей закрашенных квадратов и незакрашенных прямоугольников;

2) площадь большого квадрата.

Приравняйте выражения, полученные в заданиях 1) и 2), и запишите полученное равенство.

Упражнения

3) $(x-2)(x-3)(x+6)(x-5)$

4) $(3m-1)(m+1)+(2m-1)(2m-5)$

Рис. 2.2

1. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена поочередно умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить (привести подобные слагаемые, если они есть).

Например, для умножения многочлена $(a+b)$ на многочлен $(c+d)$ применяется это правило:
$(a+b)(c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$

Ответ: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

2. В каких случаях разложение многочлена на множители выполняют способом группировки?

Способ группировки для разложения многочлена на множители применяют тогда, когда у всех членов многочлена нет общего множителя. Этот метод заключается в объединении членов многочлена в группы таким образом, чтобы в каждой группе появился свой общий множитель. После вынесения за скобки общих множителей в каждой группе должен образоваться новый, общий для всех групп множитель (обычно в виде многочлена в скобках), который затем также выносится за скобки.

Как правило, этот метод используется для многочленов, содержащих четыре или более слагаемых.

Например, разложим на множители многочлен $ax - 5y + 5x - ay$.
1. Сгруппируем члены: $(ax+5x) + (-ay-5y)$.
2. Вынесем общий множитель из каждой группы: $x(a+5) - y(a+5)$.
3. Вынесем за скобки общий множитель $(a+5)$: $(a+5)(x-y)$.

Ответ: Способ группировки применяют, когда члены многочлена не имеют общего для всех множителя, но их можно объединить в группы, имеющие общие множители, так, чтобы после вынесения этих множителей за скобки в каждой группе получился одинаковый общий множитель (в скобках), который затем также выносится за скобки.

По рис. 2.2 найдите:

1) сумму площадей закрашенных квадратов и незакрашенных прямоугольников;

Большой квадрат на рисунке 2.2 разделен на четыре фигуры. Найдем площадь каждой из них:

Площадь верхнего левого закрашенного квадрата со стороной $b$ равна $S_1 = b^2$.

Площадь нижнего правого закрашенного квадрата со стороной $a$ равна $S_2 = a^2$.

Площадь верхнего правого незакрашенного прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $S_3 = ab$.

Площадь нижнего левого незакрашенного прямоугольника со сторонами $b$ и $a$ равна $S_4 = ba = ab$.

Сумма площадей всех этих фигур (закрашенных и незакрашенных) равна:
$S_{сумма} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = b^2 + a^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$

2) площадь большого квадрата.

Сторона большого квадрата состоит из двух отрезков длиной $a$ и $b$. Следовательно, длина стороны большого квадрата равна $a+b$.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Таким образом, площадь большого квадрата $S_{большого}$ равна $(a+b)^2$.

Ответ: $(a+b)^2$

Приравняйте выражения, полученные в заданиях 1) и 2), и запишите полученное равенство.

Выражение, полученное в первом задании, представляет собой сумму площадей частей, составляющих большой квадрат. Выражение, полученное во втором задании, представляет собой площадь всей фигуры. Поскольку речь идет об одной и той же площади, эти выражения равны.

Приравниваем полученные выражения:

$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

Это равенство является формулой квадрата суммы.

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$