Номер 2.103, страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.103. Выполните умножение многочленов:

1) $(2x + 1)(x + 4);$

2) $(2x + 3)(5x - 4);$

3) $(3x - 2)(2a - 1);$

4) $(5a - 3b)(4a - b);$

5) $(2m + 3n)(2m - 5n);$

6) $(3x + 2y)(x - y);$

7) $(5b - 4c)(2b - 2c);$

8) $(p - 3q)(8p + 5q).$

1) Чтобы умножить многочлен $(2x+1)$ на многочлен $(x+4)$, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и затем сложить полученные произведения. Этот метод также известен как правило "фонтанчика" или применение распределительного закона.

$(2x+1)(x+4) = 2x \cdot x + 2x \cdot 4 + 1 \cdot x + 1 \cdot 4$
Выполним умножения:
$2x^2 + 8x + x + 4$
Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x$ в одинаковой степени):
$2x^2 + (8x + x) + 4 = 2x^2 + 9x + 4$
Ответ: $2x^2 + 9x + 4$.

2) Умножим многочлен $(2x+3)$ на $(5x-4)$ по тому же правилу:

$(2x+3)(5x-4) = 2x \cdot 5x + 2x \cdot (-4) + 3 \cdot 5x + 3 \cdot (-4)$
Выполним умножения:
$10x^2 - 8x + 15x - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$10x^2 + (-8x + 15x) - 12 = 10x^2 + 7x - 12$
Ответ: $10x^2 + 7x - 12$.

3) Умножим многочлен $(3x-2)$ на $(2a-1)$. Обратите внимание, что здесь используются разные переменные.

$(3x-2)(2a-1) = 3x \cdot 2a + 3x \cdot (-1) + (-2) \cdot 2a + (-2) \cdot (-1)$
Выполним умножения:
$6ax - 3x - 4a + 2$
В полученном выражении нет подобных слагаемых, так как все члены содержат разные комбинации переменных.
Ответ: $6ax - 3x - 4a + 2$.

4) Умножим многочлен $(5a-3b)$ на $(4a-b)$:

$(5a-3b)(4a-b) = 5a \cdot 4a + 5a \cdot (-b) + (-3b) \cdot 4a + (-3b) \cdot (-b)$
Выполним умножения:
$20a^2 - 5ab - 12ab + 3b^2$
Приведем подобные слагаемые (члены с $ab$):
$20a^2 + (-5ab - 12ab) + 3b^2 = 20a^2 - 17ab + 3b^2$
Ответ: $20a^2 - 17ab + 3b^2$.

5) Умножим многочлен $(2m+3n)$ на $(2m-5n)$:

$(2m+3n)(2m-5n) = 2m \cdot 2m + 2m \cdot (-5n) + 3n \cdot 2m + 3n \cdot (-5n)$
Выполним умножения:
$4m^2 - 10mn + 6mn - 15n^2$
Приведем подобные слагаемые (члены с $mn$):
$4m^2 + (-10mn + 6mn) - 15n^2 = 4m^2 - 4mn - 15n^2$
Ответ: $4m^2 - 4mn - 15n^2$.

6) Умножим многочлен $(3x+2y)$ на $(x-y)$:

$(3x+2y)(x-y) = 3x \cdot x + 3x \cdot (-y) + 2y \cdot x + 2y \cdot (-y)$
Выполним умножения:
$3x^2 - 3xy + 2xy - 2y^2$
Приведем подобные слагаемые (члены с $xy$):
$3x^2 + (-3xy + 2xy) - 2y^2 = 3x^2 - xy - 2y^2$
Ответ: $3x^2 - xy - 2y^2$.

7) Умножим многочлен $(5b-4c)$ на $(2b-2c)$:

$(5b-4c)(2b-2c) = 5b \cdot 2b + 5b \cdot (-2c) + (-4c) \cdot 2b + (-4c) \cdot (-2c)$
Выполним умножения:
$10b^2 - 10bc - 8bc + 8c^2$
Приведем подобные слагаемые (члены с $bc$):
$10b^2 + (-10bc - 8bc) + 8c^2 = 10b^2 - 18bc + 8c^2$
Ответ: $10b^2 - 18bc + 8c^2$.

8) Умножим многочлен $(p-3q)$ на $(8p+5q)$:

$(p-3q)(8p+5q) = p \cdot 8p + p \cdot 5q + (-3q) \cdot 8p + (-3q) \cdot 5q$
Выполним умножения:
$8p^2 + 5pq - 24pq - 15q^2$
Приведем подобные слагаемые (члены с $pq$):
$8p^2 + (5pq - 24pq) - 15q^2 = 8p^2 - 19pq - 15q^2$
Ответ: $8p^2 - 19pq - 15q^2$.