Номер 2.110, страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.110. Выполните умножение:

1) $(2a^2 - 3b)(a^2 + 2ab + 5b^2)$;

2) $(x^2 - 2xy)(x^2 - 5xy + 3y^2)$;

3) $(x - y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)$;

4) $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$;

5) $(5a - 4b)(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3)$;

6) $(2x + 3y)(x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3)$.

1) $(2a^2 - 3b)(a^2 + 2ab + 5b^2)$

Для выполнения умножения многочленов раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго. Сначала умножим $2a^2$ на второй многочлен, а затем $-3b$.

$2a^2 \cdot (a^2 + 2ab + 5b^2) = 2a^2 \cdot a^2 + 2a^2 \cdot 2ab + 2a^2 \cdot 5b^2 = 2a^4 + 4a^3b + 10a^2b^2$

$-3b \cdot (a^2 + 2ab + 5b^2) = -3b \cdot a^2 - 3b \cdot 2ab - 3b \cdot 5b^2 = -3a^2b - 6ab^2 - 15b^3$

Теперь сложим полученные выражения:

$(2a^4 + 4a^3b + 10a^2b^2) + (-3a^2b - 6ab^2 - 15b^3) = 2a^4 + 4a^3b + 10a^2b^2 - 3a^2b - 6ab^2 - 15b^3$

В полученном многочлене нет подобных слагаемых, поэтому дальнейшее упрощение невозможно. Ответ записывается в стандартном виде.

Ответ: $2a^4 + 4a^3b + 10a^2b^2 - 3a^2b - 6ab^2 - 15b^3$

2) $(x^2 - 2xy)(x^2 - 5xy + 3y^2)$

Раскроем скобки, умножив каждый член из первой скобки на многочлен во второй скобке:

$x^2(x^2 - 5xy + 3y^2) = x^4 - 5x^3y + 3x^2y^2$

$-2xy(x^2 - 5xy + 3y^2) = -2x^3y + 10x^2y^2 - 6xy^3$

Сложим результаты и приведем подобные слагаемые:

$(x^4 - 5x^3y + 3x^2y^2) + (-2x^3y + 10x^2y^2 - 6xy^3) = x^4 - 5x^3y + 3x^2y^2 - 2x^3y + 10x^2y^2 - 6xy^3$

Группируем подобные члены: $x^4 + (-5x^3y - 2x^3y) + (3x^2y^2 + 10x^2y^2) - 6xy^3$

Результат: $x^4 - 7x^3y + 13x^2y^2 - 6xy^3$

Ответ: $x^4 - 7x^3y + 13x^2y^2 - 6xy^3$

3) $(x - y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)$

Выполним умножение, распределяя каждый член из первой скобки по второй:

$(x - y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3) = x(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3) - y(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)$

$= (x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3) - (x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)$

$= x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 - x^3y - x^2y^2 - xy^3 - y^4$

Приведем подобные слагаемые. Заметим, что промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$x^4 + (x^3y - x^3y) + (x^2y^2 - x^2y^2) + (xy^3 - xy^3) - y^4 = x^4 - y^4$

Данное выражение является частным случаем формулы разности степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$ для $n=4$.

Ответ: $x^4 - y^4$

4) $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$

Раскроем скобки, умножая $(a+b)$ на каждый член второго многочлена:

$a(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) + b(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$

$= (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3) + (a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4)$

$= a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$a^4 + (-a^3b + a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (-ab^3 + ab^3) - b^4 = a^4 - b^4$

Можно также заметить, что второй множитель можно сгруппировать: $a^2(a-b) + b^2(a-b) = (a-b)(a^2+b^2)$. Тогда исходное выражение равно $(a+b)(a-b)(a^2+b^2) = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = a^4-b^4$.

Ответ: $a^4 - b^4$

5) $(5a - 4b)(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3)$

Выполним умножение по частям:

$5a(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3) = 5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3$

$-4b(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3) = -4a^3b - 8a^2b^2 + 20ab^3 + 12b^4$

Сложим полученные многочлены и сгруппируем подобные члены:

$(5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3) + (-4a^3b - 8a^2b^2 + 20ab^3 + 12b^4)$

$= 5a^4 + (10a^3b - 4a^3b) + (-25a^2b^2 - 8a^2b^2) + (-15ab^3 + 20ab^3) + 12b^4$

$= 5a^4 + 6a^3b - 33a^2b^2 + 5ab^3 + 12b^4$

Ответ: $5a^4 + 6a^3b - 33a^2b^2 + 5ab^3 + 12b^4$

6) $(2x + 3y)(x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3)$

Раскроем скобки, выполнив умножение по частям:

$2x(x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3) = 2x^4 + 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3$

$3y(x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3) = 3x^3y + 9x^2y^2 - 9xy^3 + 12y^4$

Сложим результаты и приведем подобные слагаемые:

$(2x^4 + 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3) + (3x^3y + 9x^2y^2 - 9xy^3 + 12y^4)$

$= 2x^4 + (6x^3y + 3x^3y) + (-6x^2y^2 + 9x^2y^2) + (8xy^3 - 9xy^3) + 12y^4$

$= 2x^4 + 9x^3y + 3x^2y^2 - xy^3 + 12y^4$

Ответ: $2x^4 + 9x^3y + 3x^2y^2 - xy^3 + 12y^4$