Номер 2.115, страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.115. Разложите многочлен на множители:

1) $ac^2-ad+c^3-cd-bc^2+bd;$

2) $mx^2+my^2-nx^2-ny^2+n-m;$

3) $am^2+cm^2-an+an^2-cn+cn^2;$

4) $xy^2-ny^2-mx+mn+m^2x-m^2n;$

5) $a^2b+a+ab^2+b+2ab+2;$

6) $x^2-xy+x-xy^2+y^3-y^2.$

1) $ac^2 - ad + c^3 - cd - bc^2 + bd$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем слагаемые так, чтобы у каждой группы появился общий множитель. Переставим и сгруппируем члены многочлена следующим образом:

$(ac^2 - ad) + (c^3 - cd) - (bc^2 - bd)$

Теперь вынесем общие множители за скобки в каждой из групп:

$a(c^2 - d) + c(c^2 - d) - b(c^2 - d)$

Мы видим, что у всех трех слагаемых есть общий множитель $(c^2 - d)$. Вынесем его за скобки:

$(a + c - b)(c^2 - d)$

Для более привычного вида переставим слагаемые в первой скобке:

$(a - b + c)(c^2 - d)$

Ответ: $(a - b + c)(c^2 - d)$

2) $mx^2 + my^2 - nx^2 - ny^2 + n - m$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $m$, и слагаемые, содержащие переменную $n$:

$(mx^2 + my^2 - m) + (-nx^2 - ny^2 + n)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем $m$, а из второй $-n$:

$m(x^2 + y^2 - 1) - n(x^2 + y^2 - 1)$

Теперь у нас есть общий множитель $(x^2 + y^2 - 1)$, который мы можем вынести за скобки:

$(m - n)(x^2 + y^2 - 1)$

Ответ: $(m - n)(x^2 + y^2 - 1)$

3) $am^2 + cm^2 - an + an^2 - cn + cn^2$

Сгруппируем слагаемые по общим переменным. Сначала сгруппируем члены с $m^2$, затем с $n$, и затем с $n^2$:

$(am^2 + cm^2) - (an + cn) + (an^2 + cn^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$m^2(a + c) - n(a + c) + n^2(a + c)$

Теперь мы видим общий множитель $(a + c)$, вынесем его за скобки:

$(a + c)(m^2 - n + n^2)$

Ответ: $(a + c)(m^2 - n + n^2)$

4) $xy^2 - ny^2 - mx + mn + m^2x - m^2n$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, и слагаемые, не содержащие $x$ (содержащие $n$):

$(xy^2 - mx + m^2x) + (-ny^2 + mn - m^2n)$

Вынесем из первой группы общий множитель $x$, а из второй группы $-n$:

$x(y^2 - m + m^2) - n(y^2 - m + m^2)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(y^2 - m + m^2)$:

$(x - n)(y^2 - m + m^2)$

Переставим слагаемые во второй скобке для стандартного вида:

$(x - n)(y^2 + m^2 - m)$

Ответ: $(x - n)(y^2 + m^2 - m)$

5) $a^2b + a + ab^2 + b + 2ab + 2$

Перегруппируем слагаемые для выявления общей структуры. Сгруппируем члены, содержащие произведение $ab$, и оставшиеся члены:

$(a^2b + ab^2 + 2ab) + (a + b + 2)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $ab$:

$ab(a + b + 2) + 1 \cdot (a + b + 2)$

Теперь мы видим общий множитель $(a + b + 2)$, который можно вынести за скобки:

$(ab + 1)(a + b + 2)$

Ответ: $(ab + 1)(a + b + 2)$

6) $x^2 - xy + x - xy^2 + y^3 - y^2$

Сгруппируем первые три слагаемых и последние три слагаемых:

$(x^2 - xy + x) + (-xy^2 + y^3 - y^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $x$, а из второй $-y^2$:

$x(x - y + 1) - y^2(x - y + 1)$

Мы получили общий множитель $(x - y + 1)$. Вынесем его за скобки:

$(x - y^2)(x - y + 1)$

Ответ: $(x - y^2)(x - y + 1)$