Номер 2.113, страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.113. Выполните умножение:

1) $ (4b^2 + 2a^2 - 4ab)(3ab + 2a^2 - 3b^3) $

2) $ (5ab - 3a^2 - 2b^2)(-4b^2 - ab + 6a^2) $

3) $ (7 + 3a^2 - 3a)(5 - 2a - a^2) $

4) $ (5xy^2 - 3x^3 + 2x^2y)(2x^2 - xy - 4y^2) $

1) $(4b^2 + 2a^2 - 4ab)(3ab + 2a^2 - 3b^3)$
Чтобы выполнить умножение, умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Для удобства можно предварительно упорядочить члены многочленов:
$(2a^2 - 4ab + 4b^2)(2a^2 + 3ab - 3b^3) = 2a^2(2a^2 + 3ab - 3b^3) - 4ab(2a^2 + 3ab - 3b^3) + 4b^2(2a^2 + 3ab - 3b^3) = $
$= (4a^4 + 6a^3b - 6a^2b^3) - (8a^3b + 12a^2b^2 - 12ab^4) + (8a^2b^2 + 12ab^3 - 12b^5) = $
$= 4a^4 + 6a^3b - 6a^2b^3 - 8a^3b - 12a^2b^2 + 12ab^4 + 8a^2b^2 + 12ab^3 - 12b^5$.
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= 4a^4 + (6a^3b - 8a^3b) + (-12a^2b^2 + 8a^2b^2) + 12ab^3 - 6a^2b^3 + 12ab^4 - 12b^5 = $
$= 4a^4 - 2a^3b - 4a^2b^2 + 12ab^3 - 6a^2b^3 + 12ab^4 - 12b^5$.
Ответ: $4a^4 - 2a^3b - 4a^2b^2 + 12ab^3 - 6a^2b^3 + 12ab^4 - 12b^5$.

2) $(5ab - 3a^2 - 2b^2)(-4b^2 - ab + 6a^2)$
Упорядочим члены в каждом многочлене по убыванию степеней переменной $a$:
$(-3a^2 + 5ab - 2b^2)(6a^2 - ab - 4b^2) = -3a^2(6a^2 - ab - 4b^2) + 5ab(6a^2 - ab - 4b^2) - 2b^2(6a^2 - ab - 4b^2) = $
$= (-18a^4 + 3a^3b + 12a^2b^2) + (30a^3b - 5a^2b^2 - 20ab^3) - (12a^2b^2 - 2ab^3 - 8b^4) = $
$= -18a^4 + 3a^3b + 12a^2b^2 + 30a^3b - 5a^2b^2 - 20ab^3 - 12a^2b^2 + 2ab^3 + 8b^4$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= -18a^4 + (3a^3b + 30a^3b) + (12a^2b^2 - 5a^2b^2 - 12a^2b^2) + (-20ab^3 + 2ab^3) + 8b^4 = $
$= -18a^4 + 33a^3b - 5a^2b^2 - 18ab^3 + 8b^4$.
Ответ: $-18a^4 + 33a^3b - 5a^2b^2 - 18ab^3 + 8b^4$.

3) $(7 + 3a^2 - 3a)(5 - 2a - a^2)$
Упорядочим члены в каждом многочлене по убыванию степеней переменной $a$:
$(3a^2 - 3a + 7)(-a^2 - 2a + 5) = 3a^2(-a^2 - 2a + 5) - 3a(-a^2 - 2a + 5) + 7(-a^2 - 2a + 5) = $
$= (-3a^4 - 6a^3 + 15a^2) - (-3a^3 - 6a^2 + 15a) + (-7a^2 - 14a + 35) = $
$= -3a^4 - 6a^3 + 15a^2 + 3a^3 + 6a^2 - 15a - 7a^2 - 14a + 35$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= -3a^4 + (-6a^3 + 3a^3) + (15a^2 + 6a^2 - 7a^2) + (-15a - 14a) + 35 = $
$= -3a^4 - 3a^3 + 14a^2 - 29a + 35$.
Ответ: $-3a^4 - 3a^3 + 14a^2 - 29a + 35$.

4) $(5xy^2 - 3x^3 + 2x^2y)(2x^2 - xy - 4y^2)$
Упорядочим члены в первом многочлене по убыванию степеней переменной $x$:
$(-3x^3 + 2x^2y + 5xy^2)(2x^2 - xy - 4y^2) = -3x^3(2x^2 - xy - 4y^2) + 2x^2y(2x^2 - xy - 4y^2) + 5xy^2(2x^2 - xy - 4y^2) = $
$= (-6x^5 + 3x^4y + 12x^3y^2) + (4x^4y - 2x^3y^2 - 8x^2y^3) + (10x^3y^2 - 5x^2y^3 - 20xy^4) = $
$= -6x^5 + 3x^4y + 12x^3y^2 + 4x^4y - 2x^3y^2 - 8x^2y^3 + 10x^3y^2 - 5x^2y^3 - 20xy^4$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= -6x^5 + (3x^4y + 4x^4y) + (12x^3y^2 - 2x^3y^2 + 10x^3y^2) + (-8x^2y^3 - 5x^2y^3) - 20xy^4 = $
$= -6x^5 + 7x^4y + 20x^3y^2 - 13x^2y^3 - 20xy^4$.
Ответ: $-6x^5 + 7x^4y + 20x^3y^2 - 13x^2y^3 - 20xy^4$.