Номер 2.109, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.109. Докажите тождество:

1) $x(y-a)+a(x+y)=y(x+a)$;

2) $x(y-2)+2(x+y)=y(x+2)$;

3) $m(m-n)+2mn=m(m+n)$;

4) $x(1-x)+x(x^2-1)=x^2(x-1)$.

1) Чтобы доказать тождество $x(y-a)+a(x+y)=y(x+a)$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки:

$x(y-a)+a(x+y) = xy - xa + ax + ay$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-xa$ и $ax$ являются противоположными и в сумме дают ноль, поэтому они взаимно уничтожаются:

$xy - xa + ax + ay = xy + ay$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$xy + ay = y(x+a)$

В результате преобразований мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Следовательно, левая часть тождественно равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $x(y-2)+2(x+y)=y(x+2)$, преобразовав его левую часть. Раскроем скобки:

$x(y-2)+2(x+y) = xy - 2x + 2x + 2y$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-2x$ и $2x$ взаимно уничтожаются:

$xy - 2x + 2x + 2y = xy + 2y$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$xy + 2y = y(x+2)$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $m(m-n)+2mn=m(m+n)$ преобразуем его левую часть. Сначала раскроем скобки:

$m(m-n)+2mn = m^2 - mn + 2mn$

Приведем подобные слагаемые, сложив $-mn$ и $2mn$:

$m^2 - mn + 2mn = m^2 + mn$

Теперь вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$m^2 + mn = m(m+n)$

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $x(1-x)+x(x^2-1)=x^2(x-1)$, преобразовав его левую часть. Раскроем скобки в левой части выражения:

$x(1-x)+x(x^2-1) = (x \cdot 1 - x \cdot x) + (x \cdot x^2 - x \cdot 1) = x - x^2 + x^3 - x$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $x$ и $-x$ взаимно уничтожаются:

$x - x^2 + x^3 - x = x^3 - x^2$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^3 - x^2 = x^2(x-1)$

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью тождества.

Ответ: Тождество доказано.