Номер 2.105, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.105. Запишите произведение в виде многочлена:

1) $(6a^2 + 5b^2)(2a^2 - 4b^2)$;

2) $(-7m^2 - 8n^2)(-m^2 + 3n^2)$;

3) $(4n^2 - 1)(n^2 + 5)$;

4) $(8x^2 - 3xy)(3x^3 - xy)$;

5) $(5ab^2 - 4b^3)(3ab^3 - 4a^2)$;

6) $(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3)$.

Для того чтобы записать произведение двух многочленов в виде многочлена, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Этот метод также известен как "правило фонтанчика" или, для двучленов, метод FOIL (First, Outer, Inner, Last).

1) $(6a^2 + 5b^2)(2a^2 - 4b^2)$
Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(6a^2 + 5b^2)(2a^2 - 4b^2) = 6a^2 \cdot 2a^2 + 6a^2 \cdot (-4b^2) + 5b^2 \cdot 2a^2 + 5b^2 \cdot (-4b^2)$
Выполним умножение одночленов:
$= 12a^4 - 24a^2b^2 + 10a^2b^2 - 20b^4$
Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $a^2b^2$):
$-24a^2b^2 + 10a^2b^2 = -14a^2b^2$
В результате получаем многочлен:
$12a^4 - 14a^2b^2 - 20b^4$
Ответ: $12a^4 - 14a^2b^2 - 20b^4$

2) $(-7m^2 - 8n^2)(-m^2 + 3n^2)$
Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(-7m^2 - 8n^2)(-m^2 + 3n^2) = (-7m^2) \cdot (-m^2) + (-7m^2) \cdot (3n^2) + (-8n^2) \cdot (-m^2) + (-8n^2) \cdot (3n^2)$
Выполним умножение одночленов:
$= 7m^4 - 21m^2n^2 + 8m^2n^2 - 24n^4$
Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $m^2n^2$):
$-21m^2n^2 + 8m^2n^2 = -13m^2n^2$
В результате получаем многочлен:
$7m^4 - 13m^2n^2 - 24n^4$
Ответ: $7m^4 - 13m^2n^2 - 24n^4$

3) $(4n^2 - 1)(n^2 + 5)$
Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(4n^2 - 1)(n^2 + 5) = 4n^2 \cdot n^2 + 4n^2 \cdot 5 + (-1) \cdot n^2 + (-1) \cdot 5$
Выполним умножение одночленов:
$= 4n^4 + 20n^2 - n^2 - 5$
Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $n^2$):
$20n^2 - n^2 = 19n^2$
В результате получаем многочлен:
$4n^4 + 19n^2 - 5$
Ответ: $4n^4 + 19n^2 - 5$

4) $(8x^2 - 3xy)(3x^3 - xy)$
Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(8x^2 - 3xy)(3x^3 - xy) = 8x^2 \cdot 3x^3 + 8x^2 \cdot (-xy) + (-3xy) \cdot 3x^3 + (-3xy) \cdot (-xy)$
Выполним умножение одночленов:
$= 24x^{2+3} - 8x^{2+1}y - 9x^{1+3}y + 3x^{1+1}y^{1+1}$
$= 24x^5 - 8x^3y - 9x^4y + 3x^2y^2$
В данном случае подобных слагаемых нет. Для удобства запишем члены многочлена в стандартном виде, упорядочив их по убыванию степени переменной $x$:
$24x^5 - 9x^4y - 8x^3y + 3x^2y^2$
Ответ: $24x^5 - 9x^4y - 8x^3y + 3x^2y^2$

5) $(5ab^2 - 4b^3)(3ab^3 - 4a^2)$
Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(5ab^2 - 4b^3)(3ab^3 - 4a^2) = 5ab^2 \cdot 3ab^3 + 5ab^2 \cdot (-4a^2) + (-4b^3) \cdot 3ab^3 + (-4b^3) \cdot (-4a^2)$
Выполним умножение одночленов:
$= (5 \cdot 3)a^{1+1}b^{2+3} - (5 \cdot 4)a^{1+2}b^2 - (4 \cdot 3)ab^{3+3} + (4 \cdot 4)a^2b^3$
$= 15a^2b^5 - 20a^3b^2 - 12ab^6 + 16a^2b^3$
Подобных слагаемых в полученном выражении нет, поэтому это и есть итоговый многочлен.
Ответ: $15a^2b^5 - 20a^3b^2 - 12ab^6 + 16a^2b^3$

6) $(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3)$
Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3) = 7x^3y^2 \cdot (-2x^2y^2) + 7x^3y^2 \cdot (5xy^3) + (-xy) \cdot (-2x^2y^2) + (-xy) \cdot (5xy^3)$
Выполним умножение одночленов:
$= -14x^{3+2}y^{2+2} + 35x^{3+1}y^{2+3} + 2x^{1+2}y^{1+2} - 5x^{1+1}y^{1+3}$
$= -14x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4$
Подобных слагаемых в полученном выражении нет. Члены уже упорядочены по убыванию степени переменной $x$.
Ответ: $-14x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4$