Номер 2.101, страница 67 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.101. По рис.2.1 найдите сумму закрашенных углов.

$\angle 1 + \angle 3 + \angle 5$

Рис. 2.1

На рисунке изображены три прямые, которые пересекаются в одной точке. Эта точка является общей вершиной для шести углов. Закрашенными являются углы 1, 3 и 5. Необходимо найти их сумму: $\angle 1 + \angle 3 + \angle 5$.

Сумма всех шести углов вокруг точки пересечения равна $360^\circ$ (полный угол):

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 360^\circ$

Углы, образованные при пересечении прямых и расположенные друг напротив друга, называются вертикальными. Вертикальные углы равны. На рисунке есть три пары вертикальных углов:

• $\angle 1$ и $\angle 4$, следовательно $\angle 1 = \angle 4$.
• $\angle 2$ и $\angle 5$, следовательно $\angle 2 = \angle 5$.
• $\angle 3$ и $\angle 6$, следовательно $\angle 3 = \angle 6$.

Заметим, что каждому закрашенному углу (1, 3, 5) соответствует равный ему вертикальный незакрашенный угол (4, 6, 2 соответственно).

Это означает, что сумма закрашенных углов равна сумме незакрашенных углов:

$(\angle 1 + \angle 3 + \angle 5) = (\angle 4 + \angle 6 + \angle 2)$

Обозначим сумму закрашенных углов как $S$. Тогда сумма всех шести углов равна $S + S = 2S$.

Поскольку сумма всех углов равна $360^\circ$, получаем уравнение:

$2S = 360^\circ$

Отсюда находим искомую сумму:

$S = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$

Другой способ рассуждения: углы 1, 2 и 3 образуют развернутый угол, так как они лежат вдоль одной прямой. Их сумма равна $180^\circ$.

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$

Искомая сумма — это $\angle 1 + \angle 3 + \angle 5$. Угол 5 является вертикальным углу 2, поэтому $\angle 5 = \angle 2$. Заменяя в искомой сумме $\angle 5$ на $\angle 2$, получаем выражение $\angle 1 + \angle 3 + \angle 2$, что, как мы уже установили, равно $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.