Номер 2.100, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.100. Трехзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру переставить на первое место, то число увеличится на 324. Найдите трехзначное число.

Пусть искомое трехзначное число имеет вид $\overline{ab7}$. В этом обозначении $a$ — это цифра сотен, а $b$ — цифра десятков. Так как число трехзначное, $a$ не может быть нулем ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ может быть любой цифрой ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Значение этого числа можно представить в виде суммы разрядных слагаемых: $N_1 = 100a + 10b + 7$.

Если цифру 7 переставить на первое место, получится новое число $\overline{7ab}$. Его значение будет: $N_2 = 7 \cdot 100 + 10a + b = 700 + 10a + b$.

По условию задачи, новое число на 324 больше исходного. Это можно записать в виде уравнения: $N_2 = N_1 + 324$

Подставим выражения для $N_1$ и $N_2$: $700 + 10a + b = (100a + 10b + 7) + 324$

Теперь решим это уравнение относительно $a$ и $b$. $700 + 10a + b = 100a + 10b + 331$

Сгруппируем члены с переменными в одной части уравнения, а свободные члены — в другой: $700 - 331 = 100a - 10a + 10b - b$

$369 = 90a + 9b$

Мы видим, что все члены уравнения делятся на 9. Разделим обе части на 9 для упрощения: $\frac{369}{9} = \frac{90a + 9b}{9}$

$41 = 10a + b$

Выражение $10a + b$ — это в точности двузначное число, образованное первыми двумя цифрами исходного числа. Таким образом, мы получаем, что $a=4$ и $b=1$.

Следовательно, исходное трехзначное число было $\overline{ab7}$, то есть 417.

Проверим полученный результат: Исходное число — 417. Новое число, полученное перестановкой цифры 7, — 741. Разница между новым и исходным числом: $741 - 417 = 324$. Это в точности соответствует условию задачи.

Ответ: 417.