Номер 2.104, страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.104. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(x + m)(y + m);$

2) $(x + 8)(x - 1);$

3) $(-a + y)(-y - 2);$

4) $(a - 4)(2a + 1);$

5) $(2x - 1)(2x + y);$

6) $(m - n)(x + y);$

7) $(5 - a)(4 - a);$

8) $(6m - 3)(2 - 5m).$

1) Чтобы представить выражение $(x+m)(y+m)$ в виде многочлена, необходимо каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго двучлена и сложить полученные произведения. Этот процесс также известен как правило раскрытия скобок или метод "фонтанчика".

$(x+m)(y+m) = x \cdot y + x \cdot m + m \cdot y + m \cdot m$

Выполним умножение для каждого члена:

$x \cdot y = xy$

$x \cdot m = xm$

$m \cdot y = my$

$m \cdot m = m^2$

Сложив полученные одночлены, получаем многочлен:

$xy + xm + my + m^2$

В данном выражении нет подобных слагаемых (членов с одинаковой буквенной частью), поэтому это и есть окончательный ответ.

Ответ: $xy + xm + my + m^2$

2) Умножим двучлен $(x+8)$ на двучлен $(x-1)$, применяя то же правило:

$(x+8)(x-1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 8 \cdot x + 8 \cdot (-1) = x^2 - x + 8x - 8$

В полученном выражении есть подобные слагаемые: $-x$ и $8x$. Приведем их:

$-x + 8x = 7x$

Подставим результат обратно в выражение:

$x^2 + 7x - 8$

Ответ: $x^2 + 7x - 8$

3) Умножим двучлен $(-a+y)$ на двучлен $(-y-2)$:

$(-a+y)(-y-2) = (-a) \cdot (-y) + (-a) \cdot (-2) + y \cdot (-y) + y \cdot (-2)$

Выполним умножение:

$ay + 2a - y^2 - 2y$

Подобных слагаемых в этом выражении нет. Можно упорядочить члены многочлена по стандартному виду, но это не обязательно. Результат является верным.

Ответ: $ay + 2a - y^2 - 2y$

4) Умножим двучлен $(a-4)$ на двучлен $(2a+1)$:

$(a-4)(2a+1) = a \cdot 2a + a \cdot 1 + (-4) \cdot 2a + (-4) \cdot 1 = 2a^2 + a - 8a - 4$

Приведем подобные слагаемые $a$ и $-8a$:

$a - 8a = -7a$

Запишем итоговый многочлен:

$2a^2 - 7a - 4$

Ответ: $2a^2 - 7a - 4$

5) Умножим двучлен $(2x-1)$ на двучлен $(2x+y)$:

$(2x-1)(2x+y) = 2x \cdot 2x + 2x \cdot y + (-1) \cdot 2x + (-1) \cdot y$

Выполним вычисления:

$4x^2 + 2xy - 2x - y$

Подобных слагаемых в полученном выражении нет.

Ответ: $4x^2 + 2xy - 2x - y$

6) Умножим двучлен $(m-n)$ на двучлен $(x+y)$:

$(m-n)(x+y) = m \cdot x + m \cdot y + (-n) \cdot x + (-n) \cdot y$

Результат умножения:

$mx + my - nx - ny$

Подобные слагаемые отсутствуют.

Ответ: $mx + my - nx - ny$

7) Умножим двучлен $(5-a)$ на двучлен $(4-a)$:

$(5-a)(4-a) = 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-a) + (-a) \cdot 4 + (-a) \cdot (-a) = 20 - 5a - 4a + a^2$

Приведем подобные слагаемые $-5a$ и $-4a$:

$-5a - 4a = -9a$

Теперь запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $a$:

$a^2 - 9a + 20$

Ответ: $a^2 - 9a + 20$

8) Умножим двучлен $(6m-3)$ на двучлен $(2-5m)$:

$(6m-3)(2-5m) = 6m \cdot 2 + 6m \cdot (-5m) + (-3) \cdot 2 + (-3) \cdot (-5m)$

Выполним умножение:

$12m - 30m^2 - 6 + 15m$

Приведем подобные слагаемые $12m$ и $15m$:

$12m + 15m = 27m$

Запишем многочлен в стандартном виде по убыванию степеней переменной $m$:

$-30m^2 + 27m - 6$

Ответ: $-30m^2 + 27m - 6$