Номер 2.111, страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.111. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(x-2)(x+3)+(x+2)(x-3);$

2) $(a-1)(a+2)+(a+1)(a-2);$

3) $(a+1)(a+2)+(a+3)(a+4);$

4) $(x-1)(x-2)+(x-3)(x-4).$

1) Чтобы представить выражение $(x-2)(x+3) + (x+2)(x-3)$ в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки в каждом слагаемом и затем привести подобные члены.

Сначала раскроем скобки в первом произведении, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(x-2)(x+3) = x \cdot x + x \cdot 3 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3 = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$.

Теперь раскроем скобки во втором произведении:

$(x+2)(x-3) = x \cdot x - x \cdot 3 + 2 \cdot x - 2 \cdot 3 = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$.

Теперь сложим полученные многочлены:

$(x^2 + x - 6) + (x^2 - x - 6) = x^2 + x - 6 + x^2 - x - 6$.

Приведем подобные члены, сгруппировав их:

$(x^2 + x^2) + (x - x) + (-6 - 6) = 2x^2 + 0 - 12 = 2x^2 - 12$.

Ответ: $2x^2 - 12$.

2) Рассмотрим выражение $(a-1)(a+2) + (a+1)(a-2)$. Решим его аналогичным образом.

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$(a-1)(a+2) = a \cdot a + a \cdot 2 - 1 \cdot a - 1 \cdot 2 = a^2 + 2a - a - 2 = a^2 + a - 2$.

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$(a+1)(a-2) = a \cdot a - a \cdot 2 + 1 \cdot a - 1 \cdot 2 = a^2 - 2a + a - 2 = a^2 - a - 2$.

Сложим полученные многочлены:

$(a^2 + a - 2) + (a^2 - a - 2) = a^2 + a - 2 + a^2 - a - 2$.

Приведем подобные члены:

$(a^2 + a^2) + (a - a) + (-2 - 2) = 2a^2 + 0 - 4 = 2a^2 - 4$.

Ответ: $2a^2 - 4$.

3) Представим в виде многочлена выражение $(a+1)(a+2) + (a+3)(a+4)$.

Раскроем скобки в первом произведении:

$(a+1)(a+2) = a^2 + 2a + a + 2 = a^2 + 3a + 2$.

Раскроем скобки во втором произведении:

$(a+3)(a+4) = a^2 + 4a + 3a + 12 = a^2 + 7a + 12$.

Сложим полученные многочлены:

$(a^2 + 3a + 2) + (a^2 + 7a + 12) = a^2 + 3a + 2 + a^2 + 7a + 12$.

Приведем подобные члены:

$(a^2 + a^2) + (3a + 7a) + (2 + 12) = 2a^2 + 10a + 14$.

Ответ: $2a^2 + 10a + 14$.

4) Упростим выражение $(x-1)(x-2) + (x-3)(x-4)$.

Раскроем скобки в первом произведении:

$(x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.

Раскроем скобки во втором произведении:

$(x-3)(x-4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$.

Сложим полученные многочлены:

$(x^2 - 3x + 2) + (x^2 - 7x + 12) = x^2 - 3x + 2 + x^2 - 7x + 12$.

Приведем подобные члены:

$(x^2 + x^2) + (-3x - 7x) + (2 + 12) = 2x^2 - 10x + 14$.

Ответ: $2x^2 - 10x + 14$.