Номер 2.117, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.117. Докажите тождество:

1) $(x-5)(x+8)-(x+4)(x-1)=-36;$

2) $x^4-(x^2-1)(x^2+1)=1;$

3) $x^4-(x^2-7)(x^2+7)=49;$

4) $(x-3)(x+7)-(x+5)(x-1)=-16.$

1)

Для доказательства тождества $(x-5)(x+8)-(x+4)(x-1)=-36$ преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(x-5)(x+8) = x^2 + 8x - 5x - 40 = x^2 + 3x - 40$

$(x+4)(x-1) = x^2 - x + 4x - 4 = x^2 + 3x - 4$

Подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства:

$(x^2 + 3x - 40) - (x^2 + 3x - 4)$

Теперь раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой:

$x^2 + 3x - 40 - x^2 - 3x + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (3x - 3x) + (-40 + 4) = 0 + 0 - 36 = -36$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $-36 = -36$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $x^4 - (x^2-1)(x^2+1) = 1$ преобразуем его левую часть. Выражение в скобках $(x^2-1)(x^2+1)$ является произведением разности и суммы двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Применим эту формулу, где $a=x^2$ и $b=1$:

$(x^2-1)(x^2+1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$x^4 - (x^4 - 1) = x^4 - x^4 + 1 = 1$

Левая часть тождества равна правой: $1=1$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Для доказательства тождества $x^4 - (x^2-7)(x^2+7) = 49$ преобразуем его левую часть. Снова используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

В данном случае $a=x^2$ и $b=7$:

$(x^2-7)(x^2+7) = (x^2)^2 - 7^2 = x^4 - 49$

Подставим результат в левую часть исходного тождества:

$x^4 - (x^4 - 49) = x^4 - x^4 + 49 = 49$

Левая часть тождества равна правой: $49=49$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Для доказательства тождества $(x-3)(x+7) - (x+5)(x-1) = -16$ преобразуем его левую часть. Раскроем скобки путем перемножения многочленов:

$(x-3)(x+7) = x^2 + 7x - 3x - 21 = x^2 + 4x - 21$

$(x+5)(x-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:

$(x^2 + 4x - 21) - (x^2 + 4x - 5)$

Раскроем скобки:

$x^2 + 4x - 21 - x^2 - 4x + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (-21 + 5) = 0 + 0 - 16 = -16$

Левая часть тождества оказалась равна правой: $-16 = -16$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.