Номер 2.121, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.121. С помощью рисунка 2.3 разъясните геометрический смысл равенства $(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb$ для положительных $n, m, a, b$.

Рис. 2.3

Данное равенство представляет собой формулу для вычисления площади большого прямоугольника, изображенного на рисунке, двумя разными способами. Предполагается, что $m, n, a, b$ — это длины соответствующих отрезков, и, следовательно, они являются положительными числами.

Способ 1: Вычисление площади всего прямоугольника.
Большой прямоугольник имеет длину и ширину. Согласно рисунку, его горизонтальная сторона (длина) равна сумме длин отрезков $m$ и $n$, то есть $(m+n)$. Вертикальная сторона (ширина) равна сумме длин отрезков $a$ и $b$, то есть $(a+b)$.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Таким образом, площадь всего прямоугольника $S_{общ}$ равна:
$S_{общ} = (m+n)(a+b)$
Это выражение соответствует левой части исходного равенства.

Способ 2: Вычисление площади как суммы площадей его частей.
Большой прямоугольник разделен на четыре меньших прямоугольника. Мы можем найти площадь каждого из них и сложить их, чтобы получить общую площадь.
1. Площадь верхнего левого прямоугольника со сторонами $m$ и $a$ равна $S_1 = ma$.
2. Площадь нижнего левого прямоугольника со сторонами $m$ и $b$ равна $S_2 = mb$.
3. Площадь верхнего правого прямоугольника со сторонами $n$ и $a$ равна $S_3 = na$.
4. Площадь нижнего правого прямоугольника со сторонами $n$ и $b$ равна $S_4 = nb$.
Общая площадь $S_{общ}$ равна сумме площадей этих четырех частей:
$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = ma + mb + na + nb$
Это выражение соответствует правой части исходного равенства.

Вывод.
Поскольку оба способа вычисляют площадь одной и той же фигуры, результаты должны быть равны. Приравнивая выражения для площади, полученные двумя способами, мы и получаем исходное тождество:
$(m+n)(a+b) = ma+mb+na+nb$
Таким образом, геометрический смысл этого равенства заключается в том, что площадь большого прямоугольника равна сумме площадей его составных частей.

Ответ: Геометрический смысл равенства $(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb$ для положительных $m, n, a, b$ заключается в том, что площадь прямоугольника со сторонами $(m+n)$ и $(a+b)$ может быть вычислена как произведение его сторон (левая часть равенства) или как сумма площадей четырех меньших прямоугольников, на которые он разделен, с площадями $ma, mb, na$ и $nb$ (правая часть равенства).