Номер 2.127, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.127. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если ширину прямоугольника увеличить на 4 м, а длину его уменьшить на 5 м, то площадь прямоугольника увеличится на $15 \text{ м}^2$. Найдите размеры прямоугольника.

Пусть ширина исходного прямоугольника равна $x$ м. Поскольку длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины, то длина равна $3x$ м.

Площадь исходного прямоугольника $S_1$ равна произведению его длины и ширины:
$S_1 = 3x \cdot x = 3x^2$ м².

Согласно условию, ширину прямоугольника увеличили на 4 м, а длину уменьшили на 5 м. Получился новый прямоугольник со следующими размерами:
Новая ширина: $(x + 4)$ м.
Новая длина: $(3x - 5)$ м.

Площадь нового прямоугольника $S_2$ равна:
$S_2 = (x + 4)(3x - 5)$ м².

Известно, что новая площадь на 15 м² больше исходной. Это можно записать в виде уравнения:
$S_2 = S_1 + 15$
$(x + 4)(3x - 5) = 3x^2 + 15$

Решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части:
$x \cdot 3x - x \cdot 5 + 4 \cdot 3x - 4 \cdot 5 = 3x^2 + 15$
$3x^2 - 5x + 12x - 20 = 3x^2 + 15$

Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3x^2 + 7x - 20 = 3x^2 + 15$

Вычтем $3x^2$ из обеих частей уравнения:
$7x - 20 = 15$

Перенесем -20 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$7x = 15 + 20$
$7x = 35$

Найдем $x$:
$x = \frac{35}{7}$
$x = 5$

Итак, ширина исходного прямоугольника равна 5 м.

Найдем длину исходного прямоугольника:
$3x = 3 \cdot 5 = 15$ м.

Ответ: ширина прямоугольника 5 м, длина 15 м.