Номер 2.120, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.120. Докажите, что при всех целых $n$ значение выражения:

1) $n(n-1)-(n+3)(n+2)$ делится на 6;

2) $n(n+5)-(n-3)(n+2)$ делится на 6.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $n(n-1) - (n+3)(n+2)$ делится на 6 при всех целых $n$, упростим это выражение.
Раскроем скобки:
$n(n-1) = n^2 - n$
$(n+3)(n+2) = n^2 + 2n + 3n + 6 = n^2 + 5n + 6$
Теперь подставим раскрытые скобки обратно в исходное выражение:
$(n^2 - n) - (n^2 + 5n + 6) = n^2 - n - n^2 - 5n - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + (-n - 5n) - 6 = -6n - 6$
Вынесем общий множитель -6 за скобки:
$-6(n+1)$
Поскольку $n$ является целым числом, то $n+1$ также является целым числом. Произведение числа -6 на любое целое число всегда будет делиться на 6. Таким образом, мы доказали, что значение выражения делится на 6 при любом целом $n$.
Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $n(n+5) - (n-3)(n+2)$ делится на 6 при всех целых $n$, также упростим его.
Раскроем скобки:
$n(n+5) = n^2 + 5n$
$(n-3)(n+2) = n^2 + 2n - 3n - 6 = n^2 - n - 6$
Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:
$(n^2 + 5n) - (n^2 - n - 6) = n^2 + 5n - n^2 + n + 6$
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + (5n + n) + 6 = 6n + 6$
Вынесем общий множитель 6 за скобки:
$6(n+1)$
Поскольку $n$ является целым числом, то $n+1$ также является целым числом. Произведение числа 6 на любое целое число всегда будет делиться на 6. Таким образом, мы доказали, что значение выражения делится на 6 при любом целом $n$.
Ответ: Доказано.