Номер 2.122, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.122. Выполните действия:

1) $(x - a)(x - b)(x - c);$

2) $(x^2 - 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1);$

3) $(a - b + c)(a + b - c)(-a + b + c);$

4) $(x - y)(x^4 + x^3 y + x^2 y^2 + xy^3 + y^4).$

1) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(x-a)(x-b)(x-c)$, выполним умножение поочередно. Сначала перемножим первые две скобки:

$(x-a)(x-b) = x \cdot x + x \cdot (-b) - a \cdot x - a \cdot (-b) = x^2 - bx - ax + ab = x^2 - (a+b)x + ab$.

Теперь умножим полученный результат на третью скобку $(x-c)$:

$(x^2 - (a+b)x + ab)(x-c) = x(x^2 - (a+b)x + ab) - c(x^2 - (a+b)x + ab)$

$= x^3 - (a+b)x^2 + abx - cx^2 + c(a+b)x - abc$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями $x$:

$= x^3 - (a+b)x^2 - cx^2 + abx + (ac+bc)x - abc$

$= x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc$.

Ответ: $x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc$.

2) В выражении $(x^2-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения. Сначала разложим первый множитель $(x^2-1)$ по формуле разности квадратов:

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

Теперь сгруппируем множители так, чтобы применить формулы суммы и разности кубов:

$[(x-1)(x^2+x+1)] \cdot [(x+1)(x^2-x+1)]$.

Первая группа является формулой разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$(x-1)(x^2+x+1) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.

Вторая группа является формулой суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$(x+1)(x^2-x+1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.

Исходное выражение превращается в произведение:

$(x^3-1)(x^3+1)$.

Это формула разности квадратов, где $a=x^3$ и $b=1$:

$(x^3)^2 - 1^2 = x^6 - 1$.

Ответ: $x^6 - 1$.

3) Чтобы упростить выражение $(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)$, сгруппируем слагаемые в скобках и применим формулу разности квадратов. Перемножим, например, первый и третий множители, представив их в виде:

$(a-b+c)(-a+b+c) = [c+(a-b)][c-(a-b)]$.

Применяя формулу $(X+Y)(X-Y)=X^2-Y^2$, где $X=c$ и $Y=a-b$, получаем:

$c^2 - (a-b)^2 = c^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = c^2 - a^2 + 2ab - b^2$.

Теперь умножим результат на оставшийся множитель $(a+b-c)$:

$(a+b-c)(c^2 - a^2 + 2ab - b^2)$.

Раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй:

$a(c^2 - a^2 + 2ab - b^2) + b(c^2 - a^2 + 2ab - b^2) - c(c^2 - a^2 + 2ab - b^2)$

$= (ac^2 - a^3 + 2a^2b - ab^2) + (bc^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3) - (c^3 - a^2c + 2abc - b^2c)$

$= ac^2 - a^3 + 2a^2b - ab^2 + bc^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 - c^3 + a^2c - 2abc + b^2c$.

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их по переменным:

$-a^3 - b^3 - c^3 + (2a^2b - a^2b) + (-ab^2 + 2ab^2) + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 - 2abc$

$= -a^3 - b^3 - c^3 + a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 - 2abc$.

Ответ: $-a^3 - b^3 - c^3 + a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 - 2abc$.

4) Выражение $(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)$ является частным случаем формулы разности степеней:

$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.

В данном случае $a=x$, $b=y$ и $n=5$. Второй множитель в задаче полностью соответствует разложению для $n=5$.

Следовательно, произведение равно $x^5 - y^5$.

Проверим это прямым умножением:

$x(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4) - y(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)$

$= (x^5+x^4y+x^3y^2+x^2y^3+xy^4) - (x^4y+x^3y^2+x^2y^3+xy^4+y^5)$

$= x^5 + x^4y + x^3y^2 + x^2y^3 + xy^4 - x^4y - x^3y^2 - x^2y^3 - xy^4 - y^5 = x^5 - y^5$.

Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются.

Ответ: $x^5 - y^5$.