Номер 2.125, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.125. Докажите, что:

1) сумма двух нечетных чисел – четное число;

2) произведение двух нечетных чисел – нечетное число.

1)

Для доказательства воспользуемся алгебраическим представлением четных и нечетных чисел. Любое нечетное число можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — любое целое число. Любое четное число можно представить в виде $2n$, где $n$ — любое целое число.

Возьмем два произвольных нечетных числа. Обозначим их как $a$ и $b$. Согласно определению, их можно записать в следующем виде:

$a = 2k + 1$

$b = 2m + 1$

где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Теперь найдем их сумму:

$a + b = (2k + 1) + (2m + 1)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$a + b = 2k + 2m + 1 + 1 = 2k + 2m + 2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$a + b = 2(k + m + 1)$

Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, их сумма $k + m$ также является целым числом. Тогда и выражение $(k + m + 1)$ — это целое число. Обозначим это целое число как $n = k + m + 1$.

Таким образом, сумма двух нечетных чисел представляется в виде $2n$, что по определению является формулой четного числа. Следовательно, сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом.

Ответ: Доказано.

2)

Используем те же представления для двух произвольных нечетных чисел $a$ и $b$:

$a = 2k + 1$

$b = 2m + 1$

где $k$ и $m$ — целые числа.

Найдем их произведение:

$a \cdot b = (2k + 1)(2m + 1)$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:

$a \cdot b = (2k)(2m) + (2k)(1) + (1)(2m) + (1)(1) = 4km + 2k + 2m + 1$

Сгруппируем первые три слагаемых и вынесем за скобки общий множитель 2:

$a \cdot b = 2(2km + k + m) + 1$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то произведение $2km$, а также суммы $(2km + k)$ и $(2km + k + m)$ являются целыми числами. Обозначим целое число в скобках как $q = 2km + k + m$.

Тогда произведение двух нечетных чисел можно представить в виде $2q + 1$, что соответствует определению нечетного числа. Следовательно, произведение двух нечетных чисел всегда является нечетным числом.

Ответ: Доказано.