Номер 2.129, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.129. Докажите, что разность квадрата целого числа и самого числа ($n^2 - n$) – четное число.

Чтобы доказать, что разность квадрата целого числа и самого числа является четным числом, обозначим это целое число переменной $n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Нам необходимо доказать, что выражение $n^2 - n$ всегда является четным.

Для начала преобразуем данное выражение, вынеся за скобки общий множитель $n$:

$n^2 - n = n(n-1)$

Полученное выражение $n(n-1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел: $n-1$ и $n$.

Для доказательства утверждения рассмотрим два возможных случая, поскольку любое целое число является либо четным, либо нечетным.

Случай 1: $n$ — четное число.

Если $n$ — четное, то его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда произведение $n(n-1)$ будет равно:

$n(n-1) = 2k(2k-1)$

Поскольку в этом произведении есть множитель 2, результат всегда будет делиться на 2, то есть будет четным числом.

Случай 2: $n$ — нечетное число.

Если $n$ — нечетное, то его можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. В этом случае предыдущее число $(n-1)$ будет четным, так как:

$n-1 = (2k+1) - 1 = 2k$

Тогда произведение $n(n-1)$ будет равно:

$n(n-1) = (2k+1)(2k)$

В этом произведении также есть множитель 2 (в составе множителя $2k$), поэтому результат также будет четным числом.

Мы рассмотрели все возможные варианты для целого числа $n$. В обоих случаях разность квадрата числа и самого числа ($n^2 - n$) является четным числом, так как она всегда представляет собой произведение двух последовательных чисел, одно из которых обязательно четное.

Ответ: утверждение доказано. Разность квадрата целого числа и самого числа всегда является четным числом.