Номер 2.128, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.128. Решите уравнение, предварительно разложив его левую часть на множители:

1) $x^2 - 4x - 5 = 0;$

2) $x^2 + 7x + 12 = 0;$

3) $x^2 - 11x + 10 = 0;$

4) $2x^2 - 3x + 1 = 0.$

1) $x^2 - 4x - 5 = 0$
Чтобы разложить левую часть уравнения на множители, воспользуемся теоремой Виета. Нам нужно найти два числа, произведение которых равно свободному члену ($-5$), а их сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($4$). Легко подобрать эти числа: это $5$ и $-1$.
$5 \cdot (-1) = -5$
$5 + (-1) = 4$
Следовательно, левую часть уравнения можно разложить на множители $(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.
$(x - 5)(x - (-1)) = 0$
$(x - 5)(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x - 5 = 0$ или $x + 1 = 0$
$x_1 = 5$
$x_2 = -1$
Ответ: $-1; 5$.

2) $x^2 + 7x + 12 = 0$
Разложим левую часть на множители. Согласно теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно $12$, а сумма равна $-7$. Это числа $-3$ и $-4$.
$(-3) \cdot (-4) = 12$
$(-3) + (-4) = -7$
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(x - (-3))(x - (-4)) = 0$
$(x + 3)(x + 4) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$x + 3 = 0$ или $x + 4 = 0$
$x_1 = -3$
$x_2 = -4$
Ответ: $-4; -3$.

3) $x^2 - 11x + 10 = 0$
Для разложения левой части на множители найдем два числа, произведение которых равно $10$, а сумма равна $11$ (по теореме Виета). Это числа $1$ и $10$.
$1 \cdot 10 = 10$
$1 + 10 = 11$
Запишем уравнение в разложенном на множители виде:
$(x - 1)(x - 10) = 0$
Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю.
$x - 1 = 0$ или $x - 10 = 0$
$x_1 = 1$
$x_2 = 10$
Ответ: $1; 10$.

4) $2x^2 - 3x + 1 = 0$
Для разложения на множители воспользуемся формулой $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$. Сначала найдем корни уравнения с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
Теперь разложим левую часть на множители:
$2(x - 1)(x - 0.5) = 0$
Можно внести множитель $2$ во вторую скобку:
$(x - 1)(2(x - 0.5)) = 0$
$(x - 1)(2x - 1) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$x - 1 = 0$ или $2x - 1 = 0$
$x_1 = 1$
$2x = 1 \implies x_2 = 0.5$
Ответ: $0.5; 1$.