Номер 2.123, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.123. Докажите тождество:

1) $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2;$

2) $(a+b)(a^2 - ab - b^2) = a^3 + b^3;$

3) $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3;$

4) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;$

5) $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$

1) Для доказательства тождества $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, мы преобразуем левую часть выражения, умножив многочлен на многочлен (раскрыв скобки).
$(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ab - b^2$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (ab - ab) - b^2 = a^2 + 0 - b^2 = a^2 - b^2$
Мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $a^2 - b^2 = a^2 - b^2$. Тождество доказано.
Ответ: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

2) В условии задачи, вероятно, допущена опечатка. Стандартная формула суммы кубов выглядит как $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. Докажем это верное тождество.
Преобразуем левую часть, раскрыв скобки:
$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a \cdot (a^2-ab+b^2) + b \cdot (a^2-ab+b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$
Левая часть равна правой: $a^3 + b^3 = a^3 + b^3$. Тождество доказано.
Ответ: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.

3) Для доказательства тождества $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, преобразуем его левую часть, раскрыв скобки.
$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a \cdot (a^2+ab+b^2) - b \cdot (a^2+ab+b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$
Левая часть равна правой: $a^3 - b^3 = a^3 - b^3$. Тождество доказано.
Ответ: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.

4) Для доказательства тождества $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, представим квадрат суммы как произведение двух одинаковых скобок и раскроем их.
$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (ab+ab) + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Левая часть равна правой: $a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Тождество доказано.
Ответ: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

5) Для доказательства тождества $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, представим квадрат разности как произведение двух одинаковых скобок и раскроем их.
$(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a - b \cdot (-b) = a^2 - ab - ab + b^2$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (-ab-ab) + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Левая часть равна правой: $a^2 - 2ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Тождество доказано.
Ответ: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.