Страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.117. Докажите тождество:

1) $(x-5)(x+8)-(x+4)(x-1)=-36;$

2) $x^4-(x^2-1)(x^2+1)=1;$

3) $x^4-(x^2-7)(x^2+7)=49;$

4) $(x-3)(x+7)-(x+5)(x-1)=-16.$

1)

Для доказательства тождества $(x-5)(x+8)-(x+4)(x-1)=-36$ преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(x-5)(x+8) = x^2 + 8x - 5x - 40 = x^2 + 3x - 40$

$(x+4)(x-1) = x^2 - x + 4x - 4 = x^2 + 3x - 4$

Подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства:

$(x^2 + 3x - 40) - (x^2 + 3x - 4)$

Теперь раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой:

$x^2 + 3x - 40 - x^2 - 3x + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (3x - 3x) + (-40 + 4) = 0 + 0 - 36 = -36$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $-36 = -36$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $x^4 - (x^2-1)(x^2+1) = 1$ преобразуем его левую часть. Выражение в скобках $(x^2-1)(x^2+1)$ является произведением разности и суммы двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Применим эту формулу, где $a=x^2$ и $b=1$:

$(x^2-1)(x^2+1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$x^4 - (x^4 - 1) = x^4 - x^4 + 1 = 1$

Левая часть тождества равна правой: $1=1$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Для доказательства тождества $x^4 - (x^2-7)(x^2+7) = 49$ преобразуем его левую часть. Снова используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

В данном случае $a=x^2$ и $b=7$:

$(x^2-7)(x^2+7) = (x^2)^2 - 7^2 = x^4 - 49$

Подставим результат в левую часть исходного тождества:

$x^4 - (x^4 - 49) = x^4 - x^4 + 49 = 49$

Левая часть тождества равна правой: $49=49$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Для доказательства тождества $(x-3)(x+7) - (x+5)(x-1) = -16$ преобразуем его левую часть. Раскроем скобки путем перемножения многочленов:

$(x-3)(x+7) = x^2 + 7x - 3x - 21 = x^2 + 4x - 21$

$(x+5)(x-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:

$(x^2 + 4x - 21) - (x^2 + 4x - 5)$

Раскроем скобки:

$x^2 + 4x - 21 - x^2 - 4x + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (-21 + 5) = 0 + 0 - 16 = -16$

Левая часть тождества оказалась равна правой: $-16 = -16$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2.118. Докажите, что выражение $(n-6)(n+8)-2(n-25)$ при любом значении $n$ принимает положительное значение.

Для того чтобы доказать, что данное выражение принимает положительное значение при любом значении $n$, упростим его. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение:

$(n-6)(n+8) - 2(n-25)$

1. Раскроем произведение первых двух скобок:

$(n-6)(n+8) = n \cdot n + 8 \cdot n - 6 \cdot n - 6 \cdot 8 = n^2 + 2n - 48$

2. Раскроем вторую часть выражения:

$-2(n-25) = -2 \cdot n - 2 \cdot (-25) = -2n + 50$

3. Теперь сложим полученные результаты:

$(n^2 + 2n - 48) + (-2n + 50) = n^2 + 2n - 48 - 2n + 50$

4. Приведем подобные слагаемые:

$n^2 + (2n - 2n) + (-48 + 50) = n^2 + 0 + 2 = n^2 + 2$

Мы получили выражение $n^2 + 2$. Теперь нужно доказать, что оно всегда положительно.

Квадрат любого действительного числа $n$ всегда больше или равен нулю, то есть $n^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу $n^2$ прибавить положительное число 2, результат всегда будет положительным:

Поскольку $n^2 \ge 0$, то $n^2 + 2 \ge 0 + 2$, следовательно, $n^2 + 2 \ge 2$.

Так как $2 > 0$, то и выражение $n^2 + 2$ всегда больше нуля при любом значении $n$.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение $(n-6)(n+8) - 2(n-25)$ всегда принимает положительное значение.

Ответ: Утверждение доказано, так как исходное выражение тождественно равно $n^2+2$, а $n^2+2 > 0$ при любом значении $n$.

2.119. Найдите корни уравнения:

1) $(2x - 1)(3x + 4) - 6x^2 = 16;$

2) $(1 - 2y)(1 - 3y) = (6y - 1)y - 1;$

3) $7 + 2x^2 = 2(x + 1)(x + 3);$

4) $(y + 4)(y + 1) = y - (y - 2)(2 - y).$

1) $(2x - 1)(3x + 4) - 6x^2 = 16$
Сначала раскроем скобки, перемножив многочлены:
$2x \cdot 3x + 2x \cdot 4 - 1 \cdot 3x - 1 \cdot 4 - 6x^2 = 16$
$6x^2 + 8x - 3x - 4 - 6x^2 = 16$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(6x^2 - 6x^2) + (8x - 3x) - 4 = 16$
$5x - 4 = 16$
Перенесем $-4$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$5x = 16 + 4$
$5x = 20$
Разделим обе части на $5$, чтобы найти $x$:
$x = \frac{20}{5}$
$x = 4$
Ответ: $4$

2) $(1 - 2y)(1 - 3y) = (6y - 1)y - 1$
Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения.
Левая часть: $1 \cdot 1 + 1 \cdot (-3y) - 2y \cdot 1 - 2y \cdot (-3y) = 1 - 3y - 2y + 6y^2 = 1 - 5y + 6y^2$
Правая часть: $6y \cdot y - 1 \cdot y - 1 = 6y^2 - y - 1$
Приравняем полученные выражения:
$1 - 5y + 6y^2 = 6y^2 - y - 1$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки:
$1 - 5y + 6y^2 - 6y^2 + y + 1 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(6y^2 - 6y^2) + (-5y + y) + (1 + 1) = 0$
$-4y + 2 = 0$
Перенесем $2$ в правую часть:
$-4y = -2$
Найдем $y$, разделив обе части на $-4$:
$y = \frac{-2}{-4}$
$y = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

3) $7 + 2x^2 = 2(x + 1)(x + 3)$
Раскроем скобки в правой части уравнения. Сначала перемножим выражения в скобках:
$7 + 2x^2 = 2(x^2 + 3x + x + 3)$
$7 + 2x^2 = 2(x^2 + 4x + 3)$
Теперь умножим на $2$:
$7 + 2x^2 = 2x^2 + 8x + 6$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую:
$7 + 2x^2 - 2x^2 - 8x - 6 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 - 2x^2) - 8x + (7 - 6) = 0$
$-8x + 1 = 0$
Перенесем $1$ в правую часть:
$-8x = -1$
Найдем $x$:
$x = \frac{-1}{-8}$
$x = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$

4) $(y + 4)(y + 1) = y - (y - 2)(2 - y)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
Левая часть: $y^2 + y + 4y + 4 = y^2 + 5y + 4$
Правая часть: $y - (y \cdot 2 + y \cdot (-y) - 2 \cdot 2 - 2 \cdot (-y)) = y - (2y - y^2 - 4 + 2y) = y - (-y^2 + 4y - 4)$
Раскроем внутренние скобки, меняя знаки: $y + y^2 - 4y + 4 = y^2 - 3y + 4$
Теперь приравняем левую и правую части:
$y^2 + 5y + 4 = y^2 - 3y + 4$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую:
$y^2 + 5y + 4 - y^2 + 3y - 4 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(y^2 - y^2) + (5y + 3y) + (4 - 4) = 0$
$8y = 0$
$y = 0$
Ответ: $0$

2.120. Докажите, что при всех целых $n$ значение выражения:

1) $n(n-1)-(n+3)(n+2)$ делится на 6;

2) $n(n+5)-(n-3)(n+2)$ делится на 6.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $n(n-1) - (n+3)(n+2)$ делится на 6 при всех целых $n$, упростим это выражение.
Раскроем скобки:
$n(n-1) = n^2 - n$
$(n+3)(n+2) = n^2 + 2n + 3n + 6 = n^2 + 5n + 6$
Теперь подставим раскрытые скобки обратно в исходное выражение:
$(n^2 - n) - (n^2 + 5n + 6) = n^2 - n - n^2 - 5n - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + (-n - 5n) - 6 = -6n - 6$
Вынесем общий множитель -6 за скобки:
$-6(n+1)$
Поскольку $n$ является целым числом, то $n+1$ также является целым числом. Произведение числа -6 на любое целое число всегда будет делиться на 6. Таким образом, мы доказали, что значение выражения делится на 6 при любом целом $n$.
Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $n(n+5) - (n-3)(n+2)$ делится на 6 при всех целых $n$, также упростим его.
Раскроем скобки:
$n(n+5) = n^2 + 5n$
$(n-3)(n+2) = n^2 + 2n - 3n - 6 = n^2 - n - 6$
Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:
$(n^2 + 5n) - (n^2 - n - 6) = n^2 + 5n - n^2 + n + 6$
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + (5n + n) + 6 = 6n + 6$
Вынесем общий множитель 6 за скобки:
$6(n+1)$
Поскольку $n$ является целым числом, то $n+1$ также является целым числом. Произведение числа 6 на любое целое число всегда будет делиться на 6. Таким образом, мы доказали, что значение выражения делится на 6 при любом целом $n$.
Ответ: Доказано.

2.121. С помощью рисунка 2.3 разъясните геометрический смысл равенства $(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb$ для положительных $n, m, a, b$.

Рис. 2.3

Данное равенство представляет собой формулу для вычисления площади большого прямоугольника, изображенного на рисунке, двумя разными способами. Предполагается, что $m, n, a, b$ — это длины соответствующих отрезков, и, следовательно, они являются положительными числами.

Способ 1: Вычисление площади всего прямоугольника.
Большой прямоугольник имеет длину и ширину. Согласно рисунку, его горизонтальная сторона (длина) равна сумме длин отрезков $m$ и $n$, то есть $(m+n)$. Вертикальная сторона (ширина) равна сумме длин отрезков $a$ и $b$, то есть $(a+b)$.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Таким образом, площадь всего прямоугольника $S_{общ}$ равна:
$S_{общ} = (m+n)(a+b)$
Это выражение соответствует левой части исходного равенства.

Способ 2: Вычисление площади как суммы площадей его частей.
Большой прямоугольник разделен на четыре меньших прямоугольника. Мы можем найти площадь каждого из них и сложить их, чтобы получить общую площадь.
1. Площадь верхнего левого прямоугольника со сторонами $m$ и $a$ равна $S_1 = ma$.
2. Площадь нижнего левого прямоугольника со сторонами $m$ и $b$ равна $S_2 = mb$.
3. Площадь верхнего правого прямоугольника со сторонами $n$ и $a$ равна $S_3 = na$.
4. Площадь нижнего правого прямоугольника со сторонами $n$ и $b$ равна $S_4 = nb$.
Общая площадь $S_{общ}$ равна сумме площадей этих четырех частей:
$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = ma + mb + na + nb$
Это выражение соответствует правой части исходного равенства.

Вывод.
Поскольку оба способа вычисляют площадь одной и той же фигуры, результаты должны быть равны. Приравнивая выражения для площади, полученные двумя способами, мы и получаем исходное тождество:
$(m+n)(a+b) = ma+mb+na+nb$
Таким образом, геометрический смысл этого равенства заключается в том, что площадь большого прямоугольника равна сумме площадей его составных частей.

Ответ: Геометрический смысл равенства $(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb$ для положительных $m, n, a, b$ заключается в том, что площадь прямоугольника со сторонами $(m+n)$ и $(a+b)$ может быть вычислена как произведение его сторон (левая часть равенства) или как сумма площадей четырех меньших прямоугольников, на которые он разделен, с площадями $ma, mb, na$ и $nb$ (правая часть равенства).

2.122. Выполните действия:

1) $(x - a)(x - b)(x - c);$

2) $(x^2 - 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1);$

3) $(a - b + c)(a + b - c)(-a + b + c);$

4) $(x - y)(x^4 + x^3 y + x^2 y^2 + xy^3 + y^4).$

1) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(x-a)(x-b)(x-c)$, выполним умножение поочередно. Сначала перемножим первые две скобки:

$(x-a)(x-b) = x \cdot x + x \cdot (-b) - a \cdot x - a \cdot (-b) = x^2 - bx - ax + ab = x^2 - (a+b)x + ab$.

Теперь умножим полученный результат на третью скобку $(x-c)$:

$(x^2 - (a+b)x + ab)(x-c) = x(x^2 - (a+b)x + ab) - c(x^2 - (a+b)x + ab)$

$= x^3 - (a+b)x^2 + abx - cx^2 + c(a+b)x - abc$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями $x$:

$= x^3 - (a+b)x^2 - cx^2 + abx + (ac+bc)x - abc$

$= x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc$.

Ответ: $x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc$.

2) В выражении $(x^2-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения. Сначала разложим первый множитель $(x^2-1)$ по формуле разности квадратов:

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

Теперь сгруппируем множители так, чтобы применить формулы суммы и разности кубов:

$[(x-1)(x^2+x+1)] \cdot [(x+1)(x^2-x+1)]$.

Первая группа является формулой разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$(x-1)(x^2+x+1) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.

Вторая группа является формулой суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$(x+1)(x^2-x+1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.

Исходное выражение превращается в произведение:

$(x^3-1)(x^3+1)$.

Это формула разности квадратов, где $a=x^3$ и $b=1$:

$(x^3)^2 - 1^2 = x^6 - 1$.

Ответ: $x^6 - 1$.

3) Чтобы упростить выражение $(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)$, сгруппируем слагаемые в скобках и применим формулу разности квадратов. Перемножим, например, первый и третий множители, представив их в виде:

$(a-b+c)(-a+b+c) = [c+(a-b)][c-(a-b)]$.

Применяя формулу $(X+Y)(X-Y)=X^2-Y^2$, где $X=c$ и $Y=a-b$, получаем:

$c^2 - (a-b)^2 = c^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = c^2 - a^2 + 2ab - b^2$.

Теперь умножим результат на оставшийся множитель $(a+b-c)$:

$(a+b-c)(c^2 - a^2 + 2ab - b^2)$.

Раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй:

$a(c^2 - a^2 + 2ab - b^2) + b(c^2 - a^2 + 2ab - b^2) - c(c^2 - a^2 + 2ab - b^2)$

$= (ac^2 - a^3 + 2a^2b - ab^2) + (bc^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3) - (c^3 - a^2c + 2abc - b^2c)$

$= ac^2 - a^3 + 2a^2b - ab^2 + bc^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 - c^3 + a^2c - 2abc + b^2c$.

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их по переменным:

$-a^3 - b^3 - c^3 + (2a^2b - a^2b) + (-ab^2 + 2ab^2) + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 - 2abc$

$= -a^3 - b^3 - c^3 + a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 - 2abc$.

Ответ: $-a^3 - b^3 - c^3 + a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 - 2abc$.

4) Выражение $(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)$ является частным случаем формулы разности степеней:

$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.

В данном случае $a=x$, $b=y$ и $n=5$. Второй множитель в задаче полностью соответствует разложению для $n=5$.

Следовательно, произведение равно $x^5 - y^5$.

Проверим это прямым умножением:

$x(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4) - y(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)$

$= (x^5+x^4y+x^3y^2+x^2y^3+xy^4) - (x^4y+x^3y^2+x^2y^3+xy^4+y^5)$

$= x^5 + x^4y + x^3y^2 + x^2y^3 + xy^4 - x^4y - x^3y^2 - x^2y^3 - xy^4 - y^5 = x^5 - y^5$.

Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются.

Ответ: $x^5 - y^5$.

2.123. Докажите тождество:

1) $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2;$

2) $(a+b)(a^2 - ab - b^2) = a^3 + b^3;$

3) $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3;$

4) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;$

5) $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$

1) Для доказательства тождества $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, мы преобразуем левую часть выражения, умножив многочлен на многочлен (раскрыв скобки).
$(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ab - b^2$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (ab - ab) - b^2 = a^2 + 0 - b^2 = a^2 - b^2$
Мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $a^2 - b^2 = a^2 - b^2$. Тождество доказано.
Ответ: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

2) В условии задачи, вероятно, допущена опечатка. Стандартная формула суммы кубов выглядит как $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. Докажем это верное тождество.
Преобразуем левую часть, раскрыв скобки:
$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a \cdot (a^2-ab+b^2) + b \cdot (a^2-ab+b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$
Левая часть равна правой: $a^3 + b^3 = a^3 + b^3$. Тождество доказано.
Ответ: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.

3) Для доказательства тождества $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, преобразуем его левую часть, раскрыв скобки.
$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a \cdot (a^2+ab+b^2) - b \cdot (a^2+ab+b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$
Левая часть равна правой: $a^3 - b^3 = a^3 - b^3$. Тождество доказано.
Ответ: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.

4) Для доказательства тождества $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, представим квадрат суммы как произведение двух одинаковых скобок и раскроем их.
$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (ab+ab) + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Левая часть равна правой: $a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Тождество доказано.
Ответ: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

5) Для доказательства тождества $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, представим квадрат разности как произведение двух одинаковых скобок и раскроем их.
$(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a - b \cdot (-b) = a^2 - ab - ab + b^2$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (-ab-ab) + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Левая часть равна правой: $a^2 - 2ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Тождество доказано.
Ответ: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

2.124. Произведение двух последовательных чисел меньше произведения следующих двух последовательных целых чисел на 38. Найдите эти числа.

Пусть первое из последовательных чисел будет $n$. Тогда второе последовательное число будет $n+1$.

Следующие два последовательных целых числа будут $n+2$ и $n+3$.

Произведение первых двух чисел равно $n(n+1)$.

Произведение следующих двух чисел равно $(n+2)(n+3)$.

По условию задачи, произведение первых двух чисел на 38 меньше произведения следующих двух. Составим уравнение:

$(n+2)(n+3) - n(n+1) = 38$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$(n^2 + 3n + 2n + 6) - (n^2 + n) = 38$

$n^2 + 5n + 6 - n^2 - n = 38$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(n^2 - n^2) + (5n - n) + 6 = 38$

$4n + 6 = 38$

Перенесем 6 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$4n = 38 - 6$

$4n = 32$

Найдем $n$, разделив обе части уравнения на 4:

$n = \frac{32}{4}$

$n = 8$

Мы нашли первое число. Теперь найдем остальные три последовательных числа:

• Первое число: $n = 8$
• Второе число: $n+1 = 8+1 = 9$
• Третье число: $n+2 = 8+2 = 10$
• Четвертое число: $n+3 = 8+3 = 11$

Таким образом, искомые числа — это 8, 9, 10 и 11.

Проверка:

Найдем произведение первых двух чисел: $8 \times 9 = 72$.

Найдем произведение следующих двух чисел: $10 \times 11 = 110$.

Проверим разницу между произведениями: $110 - 72 = 38$.

Разница равна 38, что соответствует условию задачи.

Ответ: 8, 9, 10, 11.