Страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.83. Докажите, что выражение $A \cdot B - C \cdot D$ тождественно равно выражению $C \cdot D - A \cdot B$, если $A=ax$, $B=cy-b$, $C=x$ и $D=acy-ab$.

Для того чтобы доказать тождество $A \cdot B - C \cdot D = C \cdot D - A \cdot B$, необходимо показать, что левая и правая части этого равенства равны. Заметим, что это равенство эквивалентно утверждению $2(A \cdot B - C \cdot D) = 0$, что, в свою очередь, равносильно $A \cdot B - C \cdot D = 0$. Докажем это.

Нам даны следующие выражения:

$A = ax$

$B = cy - b$

$C = x$

$D = acy - ab$

Найдем произведение $A \cdot B$, подставив соответствующие выражения:

$A \cdot B = (ax) \cdot (cy - b)$

Раскроем скобки:

$A \cdot B = ax \cdot cy - ax \cdot b = acxy - abx$

Теперь найдем произведение $C \cdot D$, подставив соответствующие выражения:

$C \cdot D = x \cdot (acy - ab)$

Раскроем скобки:

$C \cdot D = x \cdot acy - x \cdot ab = acxy - abx$

Теперь вычислим разность $A \cdot B - C \cdot D$:

$A \cdot B - C \cdot D = (acxy - abx) - (acxy - abx)$

$A \cdot B - C \cdot D = acxy - abx - acxy + abx = 0$

Поскольку мы доказали, что $A \cdot B - C \cdot D = 0$, то отсюда следует, что и $C \cdot D - A \cdot B = -(A \cdot B - C \cdot D) = -0 = 0$.

Таким образом, левая часть исходного равенства равна $0$, и правая часть также равна $0$. Равенство $0=0$ является истинным, следовательно, исходное выражение является тождеством.

Ответ: тождество доказано, так как обе его части равны нулю.

2.84. Докажите, что при любых значениях переменной $y$ значение выражения $y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2)$ является отрицательным числом.

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения является отрицательным при любом значении переменной y, необходимо упростить это выражение.

Исходное выражение: $y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2)$.

Сначала раскроем скобки.
1. Умножим y на каждый член в первой скобке:
$y(2 + y - y^3) = y \cdot 2 + y \cdot y - y \cdot y^3 = 2y + y^2 - y^4$.

2. Умножим $-\frac{2}{3}$ на каждый член во второй скобке. Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь $1,5$ в обыкновенную: $1,5 = \frac{3}{2}$.
$-\frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2) = -\frac{2}{3}(6 + 3y + \frac{3}{2}y^2)$
$-\frac{2}{3} \cdot 6 - \frac{2}{3} \cdot 3y - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}y^2 = -4 - 2y - y^2$.

3. Теперь сложим полученные выражения:
$(2y + y^2 - y^4) + (-4 - 2y - y^2)$.

4. Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2y + y^2 - y^4 - 4 - 2y - y^2 = (2y - 2y) + (y^2 - y^2) - y^4 - 4 = -y^4 - 4$.

Итак, исходное выражение равно $-y^4 - 4$.

Теперь проанализируем полученный результат.
Выражение $y^4$ представляет собой переменную в четной степени (4). Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, то есть $y^4 \ge 0$ при любом значении y.
Следовательно, выражение $-y^4$ всегда будет неположительным, то есть $-y^4 \le 0$.
Если из неположительного числа ($-y^4$) вычесть положительное число (4), результат всегда будет отрицательным.
Более строго: так как $y^4 \ge 0$, то $-y^4 \le 0$. Тогда $-y^4 - 4 \le 0 - 4$, что означает $-y^4 - 4 \le -4$.
Поскольку значение выражения всегда меньше или равно -4, оно всегда является отрицательным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $-y^4 - 4$. Так как $y^4 \ge 0$ для любого действительного числа y, то $-y^4 \le 0$. Следовательно, $-y^4 - 4 \le -4$, что доказывает, что значение выражения всегда является отрицательным числом.

2.85. Решите уравнение:

1) $\frac{x(x+6)}{2} - \frac{x(x+14)}{3} - \frac{x^2+1}{6} = 0;$

2) $\frac{y(2y-1)}{12} - \frac{y^2+1}{6} = y;$

3) $\frac{6+7y^2}{3} + \frac{y(5-8y)}{4} = \frac{y(y+2)}{3};$

4) $\frac{2m^2+1}{4} + 3 = \frac{m}{6} - \frac{m(1-2m)}{4}.$

1) Решим уравнение $\frac{x(x+6)}{2} - \frac{x(x+14)}{3} - \frac{x^2+1}{6} = 0$.

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6:

$6 \cdot \frac{x(x+6)}{2} - 6 \cdot \frac{x(x+14)}{3} - 6 \cdot \frac{x^2+1}{6} = 6 \cdot 0$

$3x(x+6) - 2x(x+14) - (x^2+1) = 0$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 18x - 2x^2 - 28x - x^2 - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 2x^2 - x^2) + (18x - 28x) - 1 = 0$

$-10x - 1 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$-10x = 1$

$x = -\frac{1}{10}$

Ответ: $-0.1$.

2) Решим уравнение $\frac{y(2y-1)}{12} - \frac{y^2+1}{6} = y$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{y(2y-1)}{12} - 12 \cdot \frac{y^2+1}{6} = 12 \cdot y$

$y(2y-1) - 2(y^2+1) = 12y$

Раскроем скобки:

$2y^2 - y - 2y^2 - 2 = 12y$

Приведем подобные слагаемые:

$(2y^2 - 2y^2) - y - 2 = 12y$

$-y - 2 = 12y$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону:

$-2 = 12y + y$

$-2 = 13y$

$y = -\frac{2}{13}$

Ответ: $-\frac{2}{13}$.

3) Решим уравнение $\frac{6+7y^2}{3} + \frac{y(5-8y)}{4} = \frac{y(y+2)}{3}$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{6+7y^2}{3} + 12 \cdot \frac{y(5-8y)}{4} = 12 \cdot \frac{y(y+2)}{3}$

$4(6+7y^2) + 3y(5-8y) = 4y(y+2)$

Раскроем скобки:

$24 + 28y^2 + 15y - 24y^2 = 4y^2 + 8y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4y^2 + 15y + 24 = 4y^2 + 8y$

Сократим $4y^2$ в обеих частях и перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а свободные члены - в правую:

$15y - 8y = -24$

$7y = -24$

$y = -\frac{24}{7}$

Ответ: $-\frac{24}{7}$.

4) Решим уравнение $\frac{2m^2+1}{4} + 3 = \frac{m}{6} - \frac{m(1-2m)}{4}$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{2m^2+1}{4} + 12 \cdot 3 = 12 \cdot \frac{m}{6} - 12 \cdot \frac{m(1-2m)}{4}$

$3(2m^2+1) + 36 = 2m - 3m(1-2m)$

Раскроем скобки:

$6m^2 + 3 + 36 = 2m - 3m + 6m^2$

Приведем подобные слагаемые:

$6m^2 + 39 = 6m^2 - m$

Сократим $6m^2$ в обеих частях:

$39 = -m$

Умножим на -1, чтобы найти $m$:

$m = -39$

Ответ: $-39$.

2.86. Представьте выражение в виде произведения двух многочленов:

1) $2a(m+n)+b(m+n);$

2) $8(x-1)+(x-1)^2;$

3) $3c(x-y)-2d(x-y);$

4) $3ab(x+2y)+c^2(x+2y);$

5) $9a^2(x-2y)-b^2(x-2y)+(x-2y)^2;$

6) $3a(2x-7)+5b(2x-7)-(2x-7)^2.$

1) Данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых, $2a(m + n)$ и $b(m + n)$. У этих слагаемых есть общий множитель — многочлен $(m + n)$. Вынесем этот общий множитель за скобки.
$2a(m + n) + b(m + n) = (m + n)(2a + b)$.
Ответ: $(m + n)(2a + b)$

2) В выражении $8(x - 1) + (x - 1)^2$ представим второе слагаемое $(x - 1)^2$ как $(x - 1)(x - 1)$. Общим множителем является $(x - 1)$. Вынесем его за скобки.
$8(x - 1) + (x - 1)(x - 1) = (x - 1)(8 + (x - 1))$.
Теперь упростим выражение во вторых скобках: $8 + x - 1 = x + 7$.
Получаем: $(x - 1)(x + 7)$.
Ответ: $(x - 1)(x + 7)$

3) В выражении $3c(x - y) - 2d(x - y)$ оба члена содержат общий множитель $(x - y)$. Вынесем его за скобки.
$3c(x - y) - 2d(x - y) = (x - y)(3c - 2d)$.
Ответ: $(x - y)(3c - 2d)$

4) В выражении $3ab(x + 2y) + c^2(x + 2y)$ оба слагаемых имеют общий множитель $(x + 2y)$. Вынесем его за скобки.
$3ab(x + 2y) + c^2(x + 2y) = (x + 2y)(3ab + c^2)$.
Ответ: $(x + 2y)(3ab + c^2)$

5) В выражении $9a^2(x - 2y) - b^2(x - 2y) + (x - 2y)^2$ все три члена содержат общий множитель $(x - 2y)$. Вынесем его за скобки.
$9a^2(x - 2y) - b^2(x - 2y) + (x - 2y)^2 = (x - 2y)(9a^2 - b^2 + (x - 2y))$.
Раскроем внутренние скобки во втором множителе: $(x - 2y)(9a^2 - b^2 + x - 2y)$.
Ответ: $(x - 2y)(9a^2 - b^2 + x - 2y)$

6) В выражении $3a(2x - 7) + 5b(2x - 7) - (2x - 7)^2$ все три члена содержат общий множитель $(2x - 7)$. Вынесем его за скобки.
$3a(2x - 7) + 5b(2x - 7) - (2x - 7)^2 = (2x - 7)(3a + 5b - (2x - 7))$.
Раскроем скобки во втором множителе: $3a + 5b - 2x + 7$.
Получаем: $(2x - 7)(3a + 5b - 2x + 7)$.
Ответ: $(2x - 7)(3a + 5b - 2x + 7)$

2.87. Представьте выражение в виде произведения:

1) $5x(2a-3b)+2y(2a-3b)+z(2a-3b);$

2) $7(c+2)+(c+2)^2-b(c+2);$

3) $2ab^2(3x+y)+4a(3x+y);$

4) $5xy^2(x^2-x+1)-15x^2y(x^2-x+1).$

1) Чтобы представить данное выражение в виде произведения, нужно найти общий множитель и вынести его за скобки. В выражении $5x(2a - 3b) + 2y(2a - 3b) + z(2a - 3b)$ мы видим, что каждое слагаемое содержит общий множитель $(2a - 3b)$.

Выносим общий множитель $(2a - 3b)$ за скобки. В скобках останется сумма коэффициентов, на которые умножался этот множитель:

$5x(2a - 3b) + 2y(2a - 3b) + z(2a - 3b) = (2a - 3b)(5x + 2y + z)$

Ответ: $(2a - 3b)(5x + 2y + z)$

2) В выражении $7(c + 2) + (c + 2)^2 - b(c + 2)$ общий множитель для всех членов — это $(c + 2)$.

Вынесем $(c + 2)$ за скобки. При этом учтем, что $(c + 2)^2$ — это $(c + 2) \cdot (c + 2)$.

$(c + 2) \cdot [7 + (c + 2) - b]$

Теперь упростим выражение во вторых (квадратных) скобках, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые:

$7 + c + 2 - b = c - b + 9$

Таким образом, итоговое произведение имеет вид:

$(c + 2)(c - b + 9)$

Ответ: $(c + 2)(c - b + 9)$

3) В выражении $2ab^2(3x + y) + 4a(3x + y)$ есть общий множитель в скобках $(3x + y)$. Кроме того, коэффициенты $2ab^2$ и $4a$ также имеют общий множитель. Найдем их наибольший общий делитель (НОД).

НОД($2ab^2$, $4a$) = $2a$.

Следовательно, полный общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $2a(3x + y)$.

Выполним вынесение за скобки:

$2a(3x + y) \cdot (\frac{2ab^2(3x + y)}{2a(3x + y)} + \frac{4a(3x + y)}{2a(3x + y)})$

После сокращения дробей в скобках получаем:

$2a(3x + y)(b^2 + 2)$

Ответ: $2a(3x + y)(b^2 + 2)$

4) В выражении $5xy^2(x^2 - x + 1) - 15x^2y(x^2 - x + 1)$ общим множителем является выражение в скобках $(x^2 - x + 1)$. Также найдем общий множитель для коэффициентов $5xy^2$ и $15x^2y$.

Найдем НОД для числовых коэффициентов, а также для каждой переменной:

НОД($5$, $15$) = $5$

НОД($x$, $x^2$) = $x$

НОД($y^2$, $y$) = $y$

Таким образом, общий множитель для коэффициентов равен $5xy$.

Полный общий множитель, который выносим за скобки, — это $5xy(x^2 - x + 1)$.

$5xy(x^2 - x + 1) \cdot (\frac{5xy^2(x^2 - x + 1)}{5xy(x^2 - x + 1)} - \frac{15x^2y(x^2 - x + 1)}{5xy(x^2 - x + 1)})$

После сокращения дробей в скобках получаем:

$5xy(x^2 - x + 1)(y - 3x)$

Ответ: $5xy(x^2 - x + 1)(y - 3x)$

2.88. Докажите, что если к целому числу прибавить квадрат этого числа, то полученная сумма будет четным числом.

Для доказательства утверждения необходимо показать, что для любого целого числа $n$ сумма $n + n^2$ является четным числом.

Представим данную сумму в виде произведения, вынеся общий множитель $n$ за скобки: $$n + n^2 = n(n + 1)$$ Это выражение является произведением двух последовательных целых чисел: $n$ и $n+1$.

Любое целое число может быть либо четным, либо нечетным. Рассмотрим оба случая.

1. Если число $n$ четное.
Четное число по определению делится на 2. Значит, его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда произведение $n(n + 1)$ примет вид $2k(2k + 1)$. Так как один из множителей этого произведения ($2k$) содержит множитель 2, то и все произведение делится на 2, а значит, является четным числом.

2. Если число $n$ нечетное.
Нечетное число можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда следующее за ним число $n + 1$ будет равно $(2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)$. Как видно, число $n + 1$ является четным. Произведение $n(n + 1)$ примет вид $(2k + 1) \cdot 2(k + 1)$. Так как один из множителей этого произведения ($2(k+1)$) содержит множитель 2, то и все произведение делится на 2, а значит, является четным числом.

Мы показали, что в обоих случаях — и когда $n$ четное, и когда $n$ нечетное — произведение $n(n+1)$, а следовательно и сумма $n+n^2$, является четным числом. Утверждение доказано.

Ответ: Сумму целого числа и его квадрата можно представить как $n + n^2 = n(n+1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Среди двух последовательных целых чисел одно всегда четное, а другое нечетное. Произведение четного числа на любое целое число всегда является четным. Следовательно, полученная сумма всегда будет четным числом.

2.89. В общем виде трехзначное число записывают так: $\overline{abc}$, в котором $a$ сотен, $b$ десятков и $c$ единиц. Это число можно представить в виде:

$\overline{abc} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c.$

Например: $845 = 100 \cdot 8 + 10 \cdot 4 + 5.$

Докажите, что число $\overline{abc} - \overline{cba}$ делится на 99. Здесь $a>c$.

Для доказательства данного утверждения необходимо представить числа $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ в виде суммы их разрядных слагаемых. Согласно условию, трехзначное число $\overline{abc}$ можно записать как:

$\overline{abc} = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c$

Здесь $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, а $c$ — цифра единиц.

Аналогично, число $\overline{cba}$ — это число, в котором цифра сотен равна $c$, цифра десятков равна $b$, а цифра единиц равна $a$. Его можно представить в виде:

$\overline{cba} = 100 \cdot c + 10 \cdot b + a$

Теперь составим разность этих двух чисел, как требуется в задаче:

$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки. Важно помнить, что все члены во вторых скобках меняют свой знак на противоположный:

$100a + 10b + c - 100c - 10b - a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 99a + 0 - 99c = 99a - 99c$

Теперь вынесем общий множитель 99 за скобки:

$99a - 99c = 99(a - c)$

Поскольку $a$ и $c$ являются цифрами, они являются целыми числами. Следовательно, их разность $(a - c)$ также является целым числом. Условие $a > c$ гарантирует, что эта разность является натуральным числом.

Итоговое выражение $99(a - c)$ представляет собой произведение числа 99 на целое число $(a - c)$. По определению делимости, если число можно представить в виде произведения некоторого целого числа и числа 99, то оно делится на 99 без остатка.

Таким образом, доказано, что число $\overline{abc} - \overline{cba}$ делится на 99.

Ответ: Разность чисел $\overline{abc} - \overline{cba}$ равна $99(a - c)$. Так как $a$ и $c$ — целые числа, то их разность $(a-c)$ также является целым числом. Следовательно, произведение $99(a-c)$ всегда делится на 99, что и требовалось доказать.

2.90. Докажите, что сумма чисел $\overline{ab} + \overline{ba}$ делится на 11.

Чтобы доказать, что сумма чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ делится на 11, представим эти числа в виде суммы их разрядных слагаемых. В записи двузначного числа $\overline{ab}$ буква a обозначает цифру десятков, а b — цифру единиц.

Число $\overline{ab}$ можно представить в виде следующего алгебраического выражения:

$\overline{ab} = 10 \cdot a + b$

Аналогично, число $\overline{ba}$, где b — цифра десятков, а a — цифра единиц, можно записать как:

$\overline{ba} = 10 \cdot b + a$

Теперь найдем сумму этих двух чисел, сложив их алгебраические представления:

$\overline{ab} + \overline{ba} = (10a + b) + (10b + a)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными и упростим выражение:

$(10a + a) + (b + 10b) = 11a + 11b$

Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$11a + 11b = 11(a + b)$

Полученное выражение $11(a + b)$ является произведением числа 11 и суммы цифр $(a + b)$. Поскольку a и b — это цифры (целые числа от 0 до 9), их сумма $(a + b)$ также является целым числом.

Согласно определению делимости, если число можно представить в виде произведения $11 \cdot k$, где k — некоторое целое число, то это число делится на 11. В нашем случае $k = a+b$.

Таким образом, сумма чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ всегда делится на 11, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма чисел $\overline{ab} + \overline{ba}$ может быть представлена в виде $\overline{ab} + \overline{ba} = (10a+b) + (10b+a) = 11a + 11b = 11(a+b)$. Так как один из множителей в полученном произведении равен 11, то всё произведение делится на 11.

2.91. Докажите, что сумма трех последовательных степеней с основанием 2 делится на 14.

Рассмотрим сумму трех последовательных степеней с основанием 2. Обозначим эти степени как $2^n$, $2^{n+1}$ и $2^{n+2}$, где $n$ — показатель первой (наименьшей) степени в последовательности.

Найдем сумму $S$ этих степеней:

$S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$

Чтобы доказать, что эта сумма делится на 14, преобразуем выражение. Вынесем за скобки общий множитель, которым является степень с наименьшим показателем, то есть $2^n$:

$S = 2^n(1 + 2^1 + 2^2)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$1 + 2^1 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7$

Подставим полученное значение обратно в выражение для суммы:

$S = 2^n \cdot 7$

Чтобы число делилось на 14, оно должно быть кратно 14. Разложим 14 на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$. Следовательно, нам нужно доказать, что сумма $S$ делится и на 2, и на 7.

Из выражения $S = 7 \cdot 2^n$ очевидно, что сумма всегда делится на 7.

Для того чтобы сумма делилась на 2, множитель $2^n$ должен содержать в себе множитель 2. Это справедливо для любого натурального показателя $n$ (т.е. $n \ge 1$). В таких задачах обычно подразумеваются именно натуральные показатели. Если $n \ge 1$, мы можем записать $2^n$ как $2 \cdot 2^{n-1}$.

Тогда выражение для суммы примет вид:

$S = 7 \cdot (2 \cdot 2^{n-1}) = (7 \cdot 2) \cdot 2^{n-1} = 14 \cdot 2^{n-1}$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n-1 \ge 0$, и $2^{n-1}$ является целым числом. Таким образом, сумма $S$ всегда может быть представлена как произведение 14 на целое число $2^{n-1}$, что и доказывает ее делимость на 14.

Примеры для проверки:
При $n=1$: $S = 2^1 + 2^2 + 2^3 = 2 + 4 + 8 = 14$. ($14 = 14 \cdot 1$)
При $n=2$: $S = 2^2 + 2^3 + 2^4 = 4 + 8 + 16 = 28$. ($28 = 14 \cdot 2$)
При $n=3$: $S = 2^3 + 2^4 + 2^5 = 8 + 16 + 32 = 56$. ($56 = 14 \cdot 4$)

Ответ: Сумма трех последовательных степеней с основанием 2 и натуральными показателями, наименьший из которых $n$, равна $S = 14 \cdot 2^{n-1}$. Так как при $n \ge 1$ выражение $2^{n-1}$ является целым числом, сумма всегда делится на 14.