Номер 2.88, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.88. Докажите, что если к целому числу прибавить квадрат этого числа, то полученная сумма будет четным числом.

Для доказательства утверждения необходимо показать, что для любого целого числа $n$ сумма $n + n^2$ является четным числом.

Представим данную сумму в виде произведения, вынеся общий множитель $n$ за скобки: $$n + n^2 = n(n + 1)$$ Это выражение является произведением двух последовательных целых чисел: $n$ и $n+1$.

Любое целое число может быть либо четным, либо нечетным. Рассмотрим оба случая.

1. Если число $n$ четное.
Четное число по определению делится на 2. Значит, его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда произведение $n(n + 1)$ примет вид $2k(2k + 1)$. Так как один из множителей этого произведения ($2k$) содержит множитель 2, то и все произведение делится на 2, а значит, является четным числом.

2. Если число $n$ нечетное.
Нечетное число можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда следующее за ним число $n + 1$ будет равно $(2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)$. Как видно, число $n + 1$ является четным. Произведение $n(n + 1)$ примет вид $(2k + 1) \cdot 2(k + 1)$. Так как один из множителей этого произведения ($2(k+1)$) содержит множитель 2, то и все произведение делится на 2, а значит, является четным числом.

Мы показали, что в обоих случаях — и когда $n$ четное, и когда $n$ нечетное — произведение $n(n+1)$, а следовательно и сумма $n+n^2$, является четным числом. Утверждение доказано.

Ответ: Сумму целого числа и его квадрата можно представить как $n + n^2 = n(n+1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Среди двух последовательных целых чисел одно всегда четное, а другое нечетное. Произведение четного числа на любое целое число всегда является четным. Следовательно, полученная сумма всегда будет четным числом.