Номер 2.84, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.84. Докажите, что при любых значениях переменной $y$ значение выражения $y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2)$ является отрицательным числом.

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения является отрицательным при любом значении переменной y, необходимо упростить это выражение.

Исходное выражение: $y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2)$.

Сначала раскроем скобки.
1. Умножим y на каждый член в первой скобке:
$y(2 + y - y^3) = y \cdot 2 + y \cdot y - y \cdot y^3 = 2y + y^2 - y^4$.

2. Умножим $-\frac{2}{3}$ на каждый член во второй скобке. Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь $1,5$ в обыкновенную: $1,5 = \frac{3}{2}$.
$-\frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2) = -\frac{2}{3}(6 + 3y + \frac{3}{2}y^2)$
$-\frac{2}{3} \cdot 6 - \frac{2}{3} \cdot 3y - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}y^2 = -4 - 2y - y^2$.

3. Теперь сложим полученные выражения:
$(2y + y^2 - y^4) + (-4 - 2y - y^2)$.

4. Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2y + y^2 - y^4 - 4 - 2y - y^2 = (2y - 2y) + (y^2 - y^2) - y^4 - 4 = -y^4 - 4$.

Итак, исходное выражение равно $-y^4 - 4$.

Теперь проанализируем полученный результат.
Выражение $y^4$ представляет собой переменную в четной степени (4). Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, то есть $y^4 \ge 0$ при любом значении y.
Следовательно, выражение $-y^4$ всегда будет неположительным, то есть $-y^4 \le 0$.
Если из неположительного числа ($-y^4$) вычесть положительное число (4), результат всегда будет отрицательным.
Более строго: так как $y^4 \ge 0$, то $-y^4 \le 0$. Тогда $-y^4 - 4 \le 0 - 4$, что означает $-y^4 - 4 \le -4$.
Поскольку значение выражения всегда меньше или равно -4, оно всегда является отрицательным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $-y^4 - 4$. Так как $y^4 \ge 0$ для любого действительного числа y, то $-y^4 \le 0$. Следовательно, $-y^4 - 4 \le -4$, что доказывает, что значение выражения всегда является отрицательным числом.