Номер 2.79, страница 64 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.79. Докажите, что значение выражения:

1) $18^6+18^5$ кратно 19;

2) $122^{10}-122^9$ кратно $11^2$;

3) $7^6-7^4$ кратно 48;

4) $4^{18}+4^{16}$ кратно 34.

1) Чтобы доказать, что выражение $18^6 + 18^5$ кратно 19, вынесем общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $18^5$, за скобки.

$18^6 + 18^5 = 18^5 \cdot 18^1 + 18^5 \cdot 1 = 18^5(18 + 1)$

Выполним сложение в скобках:

$18^5(18 + 1) = 18^5 \cdot 19$

Полученное выражение представляет собой произведение, где один из множителей равен 19. Следовательно, все выражение делится на 19 без остатка, то есть кратно 19.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что выражение $122^{10} - 122^9$ кратно $11^2$, вынесем общий множитель $122^9$ за скобки.

$122^{10} - 122^9 = 122^9 \cdot 122^1 - 122^9 \cdot 1 = 122^9(122 - 1)$

Выполним вычитание в скобках:

$122^9(122 - 1) = 122^9 \cdot 121$

Число 121 является квадратом числа 11, то есть $121 = 11^2$. Подставим это в наше выражение:

$122^9 \cdot 121 = 122^9 \cdot 11^2$

Поскольку в полученном произведении один из множителей равен $11^2$, все выражение кратно $11^2$.

Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что выражение $7^6 - 7^4$ кратно 48, вынесем за скобки общий множитель $7^4$.

$7^6 - 7^4 = 7^4 \cdot 7^2 - 7^4 \cdot 1 = 7^4(7^2 - 1)$

Вычислим значение выражения в скобках, используя формулу разности квадратов или прямое вычисление:

$7^4(49 - 1) = 7^4 \cdot 48$

Так как один из множителей в полученном произведении равен 48, то все выражение кратно 48.

Ответ: Доказано.

4) Чтобы доказать, что выражение $4^{18} + 4^{16}$ кратно 34, вынесем за скобки общий множитель $4^{16}$.

$4^{18} + 4^{16} = 4^{16} \cdot 4^2 + 4^{16} \cdot 1 = 4^{16}(4^2 + 1)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$4^{16}(16 + 1) = 4^{16} \cdot 17$

Нам нужно доказать кратность 34. Мы знаем, что $34 = 2 \cdot 17$. У нас уже есть множитель 17. Представим множитель $4^{16}$ как степень с основанием 2:

$4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}$

Теперь наше выражение выглядит так:

$2^{32} \cdot 17$

Выделим из множителя $2^{32}$ множитель 2:

$2^{32} \cdot 17 = (2 \cdot 2^{31}) \cdot 17 = 2^{31} \cdot (2 \cdot 17) = 2^{31} \cdot 34$

Полученное произведение содержит множитель 34, следовательно, исходное выражение кратно 34.

Ответ: Доказано.