Номер 2.75, страница 64 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.75. Представьте многочлен в виде произведения:

1) $5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3;$

2) $2x^4 - 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3;$

3) $3x^4 + 6x^3y - 15x^2y^2 - 9x^2y;$

4) $-6bm^2 + 9m^3 - 12m^4 - 3b^2m^2.$

1) $5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3$

Чтобы представить многочлен в виде произведения, в первую очередь вынесем за скобки общий множитель всех его членов.

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 5, 10, -25, -15. НОД(5, 10, 25, 15) = 5.

Переменная $a$ входит во все члены многочлена. Наименьшая степень, в которой она встречается, это первая ($a^1$).

Переменная $b$ входит не во все члены (в первом члене $5a^4$ ее нет), поэтому ее нельзя вынести за скобки как общий множитель.

Таким образом, общий множитель для всего многочлена равен $5a$.

Вынесем $5a$ за скобки, разделив каждый член многочлена на $5a$:

$5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3 = 5a \cdot a^3 + 5a \cdot 2a^2b - 5a \cdot 5ab^2 - 5a \cdot 3b^3 = 5a(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3)$.

Дальнейшее разложение многочлена в скобках $a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3$ на множители с целыми коэффициентами стандартными методами (такими как группировка) не представляется возможным.

Ответ: $5a(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3)$.

2) $2x^4 - 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3$

Найдем и вынесем за скобки общий множитель всех членов многочлена.

НОД для коэффициентов 2, -6, -6, 8 равен 2.

Переменная $x$ входит во все члены. Наименьшая степень $x$ равна 1 ($x^1$).

Переменная $y$ входит не во все члены.

Следовательно, общий множитель равен $2x$.

Вынесем $2x$ за скобки:

$2x^4 - 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3 = 2x \cdot x^3 - 2x \cdot 3x^2y - 2x \cdot 3xy^2 + 2x \cdot 4y^3 = 2x(x^3 - 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3)$.

Многочлен третьей степени в скобках $x^3 - 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3$ не имеет простых рациональных корней и не раскладывается на множители методом группировки.

Ответ: $2x(x^3 - 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3)$.

3) $3x^4 + 6x^3y - 15x^2y^2 - 9x^2y$

Найдем и вынесем за скобки общий множитель.

НОД для коэффициентов 3, 6, -15, -9 равен 3.

Переменная $x$ входит во все члены. Наименьшая степень $x$ равна 2 ($x^2$).

Переменная $y$ входит не во все члены.

Общий множитель равен $3x^2$.

Вынесем $3x^2$ за скобки:

$3x^4 + 6x^3y - 15x^2y^2 - 9x^2y = 3x^2 \cdot x^2 + 3x^2 \cdot 2xy - 3x^2 \cdot 5y^2 - 3x^2 \cdot 3y = 3x^2(x^2 + 2xy - 5y^2 - 3y)$.

Выражение в скобках $x^2 + 2xy - 5y^2 - 3y$ представляет собой многочлен, который не может быть разложен на более простые множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $3x^2(x^2 + 2xy - 5y^2 - 3y)$.

4) $-6bm^2 + 9m^3 - 12m^4 - 3b^2m^2$

Сначала найдем общий множитель для всех членов многочлена.

НОД для абсолютных значений коэффициентов -6, 9, -12, -3 (т.е. 6, 9, 12, 3) равен 3.

Переменная $m$ входит во все члены. Наименьшая степень $m$ равна 2 ($m^2$).

Переменная $b$ входит не во все члены.

Общий множитель равен $3m^2$. Чтобы старший член в скобках имел положительный коэффициент, удобнее вынести за скобки $-3m^2$.

Перепишем исходный многочлен, упорядочив его по убывающим степеням $m$:

$-12m^4 + 9m^3 - 6bm^2 - 3b^2m^2$

Вынесем $-3m^2$ за скобки:

$-3m^2 \cdot 4m^2 - 3m^2 \cdot (-3m) - 3m^2 \cdot (2b) - 3m^2 \cdot (b^2) = -3m^2(4m^2 - 3m + 2b + b^2)$.

Многочлен в скобках $4m^2 - 3m + 2b + b^2$ не раскладывается на множители стандартными школьными методами.

Ответ: $-3m^2(4m^2 - 3m + b^2 + 2b)$.