Номер 2.76, страница 64 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.76. Разложите на множители:

1) $12x^2y - 18xy^2 - 30ay^3$

2) $20x^2y - 25x^2y^2 - 10x^3y^3$

3) $8a^4b^3 - 12a^2b^4 + 16a^3b^3$

4) $-4mn^3 - 8m^2n^2 + 12m^3n$

Чтобы разложить на множители многочлен $12x^2y - 18xy^2 - 30ay^3$, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для всех его членов. Этот процесс называется вынесением общего множителя за скобки.
1. Находим НОД для числовых коэффициентов 12, 18 и 30. Разложим их на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Общими множителями являются 2 и 3. Следовательно, НОД(12, 18, 30) = $2 \cdot 3 = 6$.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.

• Переменная $x$ есть в первом и втором члене ($x^2$ и $x^1$), но отсутствует в третьем, поэтому $x$ не является общим множителем.
• Переменная $y$ есть во всех трёх членах в степенях 1, 2 и 3. Наименьшая степень - 1, поэтому общий множитель - $y^1$ или просто $y$.
• Переменная $a$ есть только в третьем члене, поэтому она не является общим множителем.

3. Общий множитель для всего многочлена является произведением НОД коэффициентов и общих переменных, то есть $6y$.
4. Выносим $6y$ за скобки. для этого каждый член исходного многочлена делим на $6y$:
$ \frac{12x^2y}{6y} = 2x^2 $
$ \frac{-18xy^2}{6y} = -3xy $
$ \frac{-30ay^3}{6y} = -5ay^2 $
В результате получаем: $6y(2x^2 - 3xy - 5ay^2)$.

Ответ: $6y(2x^2 - 3xy - 5ay^2)$

Разложим на множители многочлен $20x^2y - 25x^2y^2 - 10x^3y^3$.
1. Находим НОД для коэффициентов 20, 25 и 10. НОД(20, 25, 10) = 5.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.

• Переменная $x$ входит во все члены в степенях 2, 2 и 3. Наименьшая степень равна 2, значит, общий множитель - $x^2$.
• Переменная $y$ входит во все члены в степенях 1, 2 и 3. Наименьшая степень равна 1, значит, общий множитель - $y$.

3. Общий множитель для всего многочлена - это $5x^2y$.
4. Выносим $5x^2y$ за скобки, разделив каждый член многочлена на этот множитель:
$ \frac{20x^2y}{5x^2y} = 4 $
$ \frac{-25x^2y^2}{5x^2y} = -5y $
$ \frac{-10x^3y^3}{5x^2y} = -2xy^2 $
В результате получаем: $5x^2y(4 - 5y - 2xy^2)$.

Ответ: $5x^2y(4 - 5y - 2xy^2)$

Разложим на множители многочлен $8a^4b^3 - 12a^2b^4 + 16a^3b^3$.
1. Находим НОД для коэффициентов 8, 12 и 16. НОД(8, 12, 16) = 4.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.

• Переменная $a$ входит во все члены в степенях 4, 2 и 3. Наименьшая степень равна 2, значит, общий множитель - $a^2$.
• Переменная $b$ входит во все члены в степенях 3, 4 и 3. Наименьшая степень равна 3, значит, общий множитель - $b^3$.

3. Общий множитель для всего многочлена - это $4a^2b^3$.
4. Выносим $4a^2b^3$ за скобки:
$ \frac{8a^4b^3}{4a^2b^3} = 2a^{4-2}b^{3-3} = 2a^2 $
$ \frac{-12a^2b^4}{4a^2b^3} = -3a^{2-2}b^{4-3} = -3b $
$ \frac{16a^3b^3}{4a^2b^3} = 4a^{3-2}b^{3-3} = 4a $
В результате получаем: $4a^2b^3(2a^2 - 3b + 4a)$.

Ответ: $4a^2b^3(2a^2 - 3b + 4a)$

Разложим на множители многочлен $-4mn^3 - 8m^2n^2 + 12m^3n$.
1. Находим НОД для абсолютных значений коэффициентов 4, 8 и 12. НОД(4, 8, 12) = 4.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.

• Переменная $m$ входит во все члены в степенях 1, 2 и 3. Наименьшая степень равна 1, значит, общий множитель - $m$.
• Переменная $n$ входит во все члены в степенях 3, 2 и 1. Наименьшая степень равна 1, значит, общий множитель - $n$.

3. Общий множитель для всего многочлена - это $4mn$.
4. Выносим $4mn$ за скобки:
$ \frac{-4mn^3}{4mn} = -n^2 $
$ \frac{-8m^2n^2}{4mn} = -2mn $
$ \frac{12m^3n}{4mn} = 3m^2 $
В результате получаем: $4mn(-n^2 - 2mn + 3m^2)$. Для более удобного вида принято располагать слагаемые в скобках в порядке убывания степеней одной из переменных, например $m$, и начинать с положительного члена.
$4mn(3m^2 - 2mn - n^2)$.

Ответ: $4mn(3m^2 - 2mn - n^2)$