Номер 2.83, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.83. Докажите, что выражение $A \cdot B - C \cdot D$ тождественно равно выражению $C \cdot D - A \cdot B$, если $A=ax$, $B=cy-b$, $C=x$ и $D=acy-ab$.

Для того чтобы доказать тождество $A \cdot B - C \cdot D = C \cdot D - A \cdot B$, необходимо показать, что левая и правая части этого равенства равны. Заметим, что это равенство эквивалентно утверждению $2(A \cdot B - C \cdot D) = 0$, что, в свою очередь, равносильно $A \cdot B - C \cdot D = 0$. Докажем это.

Нам даны следующие выражения:

$A = ax$

$B = cy - b$

$C = x$

$D = acy - ab$

Найдем произведение $A \cdot B$, подставив соответствующие выражения:

$A \cdot B = (ax) \cdot (cy - b)$

Раскроем скобки:

$A \cdot B = ax \cdot cy - ax \cdot b = acxy - abx$

Теперь найдем произведение $C \cdot D$, подставив соответствующие выражения:

$C \cdot D = x \cdot (acy - ab)$

Раскроем скобки:

$C \cdot D = x \cdot acy - x \cdot ab = acxy - abx$

Теперь вычислим разность $A \cdot B - C \cdot D$:

$A \cdot B - C \cdot D = (acxy - abx) - (acxy - abx)$

$A \cdot B - C \cdot D = acxy - abx - acxy + abx = 0$

Поскольку мы доказали, что $A \cdot B - C \cdot D = 0$, то отсюда следует, что и $C \cdot D - A \cdot B = -(A \cdot B - C \cdot D) = -0 = 0$.

Таким образом, левая часть исходного равенства равна $0$, и правая часть также равна $0$. Равенство $0=0$ является истинным, следовательно, исходное выражение является тождеством.

Ответ: тождество доказано, так как обе его части равны нулю.