Номер 2.85, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.85. Решите уравнение:

1) $\frac{x(x+6)}{2} - \frac{x(x+14)}{3} - \frac{x^2+1}{6} = 0;$

2) $\frac{y(2y-1)}{12} - \frac{y^2+1}{6} = y;$

3) $\frac{6+7y^2}{3} + \frac{y(5-8y)}{4} = \frac{y(y+2)}{3};$

4) $\frac{2m^2+1}{4} + 3 = \frac{m}{6} - \frac{m(1-2m)}{4}.$

1) Решим уравнение $\frac{x(x+6)}{2} - \frac{x(x+14)}{3} - \frac{x^2+1}{6} = 0$.

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6:

$6 \cdot \frac{x(x+6)}{2} - 6 \cdot \frac{x(x+14)}{3} - 6 \cdot \frac{x^2+1}{6} = 6 \cdot 0$

$3x(x+6) - 2x(x+14) - (x^2+1) = 0$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 18x - 2x^2 - 28x - x^2 - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 2x^2 - x^2) + (18x - 28x) - 1 = 0$

$-10x - 1 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$-10x = 1$

$x = -\frac{1}{10}$

Ответ: $-0.1$.

2) Решим уравнение $\frac{y(2y-1)}{12} - \frac{y^2+1}{6} = y$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{y(2y-1)}{12} - 12 \cdot \frac{y^2+1}{6} = 12 \cdot y$

$y(2y-1) - 2(y^2+1) = 12y$

Раскроем скобки:

$2y^2 - y - 2y^2 - 2 = 12y$

Приведем подобные слагаемые:

$(2y^2 - 2y^2) - y - 2 = 12y$

$-y - 2 = 12y$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону:

$-2 = 12y + y$

$-2 = 13y$

$y = -\frac{2}{13}$

Ответ: $-\frac{2}{13}$.

3) Решим уравнение $\frac{6+7y^2}{3} + \frac{y(5-8y)}{4} = \frac{y(y+2)}{3}$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{6+7y^2}{3} + 12 \cdot \frac{y(5-8y)}{4} = 12 \cdot \frac{y(y+2)}{3}$

$4(6+7y^2) + 3y(5-8y) = 4y(y+2)$

Раскроем скобки:

$24 + 28y^2 + 15y - 24y^2 = 4y^2 + 8y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4y^2 + 15y + 24 = 4y^2 + 8y$

Сократим $4y^2$ в обеих частях и перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а свободные члены - в правую:

$15y - 8y = -24$

$7y = -24$

$y = -\frac{24}{7}$

Ответ: $-\frac{24}{7}$.

4) Решим уравнение $\frac{2m^2+1}{4} + 3 = \frac{m}{6} - \frac{m(1-2m)}{4}$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{2m^2+1}{4} + 12 \cdot 3 = 12 \cdot \frac{m}{6} - 12 \cdot \frac{m(1-2m)}{4}$

$3(2m^2+1) + 36 = 2m - 3m(1-2m)$

Раскроем скобки:

$6m^2 + 3 + 36 = 2m - 3m + 6m^2$

Приведем подобные слагаемые:

$6m^2 + 39 = 6m^2 - m$

Сократим $6m^2$ в обеих частях:

$39 = -m$

Умножим на -1, чтобы найти $m$:

$m = -39$

Ответ: $-39$.