Номер 2.89, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.89. В общем виде трехзначное число записывают так: $\overline{abc}$, в котором $a$ сотен, $b$ десятков и $c$ единиц. Это число можно представить в виде:

$\overline{abc} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c.$

Например: $845 = 100 \cdot 8 + 10 \cdot 4 + 5.$

Докажите, что число $\overline{abc} - \overline{cba}$ делится на 99. Здесь $a>c$.

Для доказательства данного утверждения необходимо представить числа $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ в виде суммы их разрядных слагаемых. Согласно условию, трехзначное число $\overline{abc}$ можно записать как:

$\overline{abc} = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c$

Здесь $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, а $c$ — цифра единиц.

Аналогично, число $\overline{cba}$ — это число, в котором цифра сотен равна $c$, цифра десятков равна $b$, а цифра единиц равна $a$. Его можно представить в виде:

$\overline{cba} = 100 \cdot c + 10 \cdot b + a$

Теперь составим разность этих двух чисел, как требуется в задаче:

$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки. Важно помнить, что все члены во вторых скобках меняют свой знак на противоположный:

$100a + 10b + c - 100c - 10b - a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 99a + 0 - 99c = 99a - 99c$

Теперь вынесем общий множитель 99 за скобки:

$99a - 99c = 99(a - c)$

Поскольку $a$ и $c$ являются цифрами, они являются целыми числами. Следовательно, их разность $(a - c)$ также является целым числом. Условие $a > c$ гарантирует, что эта разность является натуральным числом.

Итоговое выражение $99(a - c)$ представляет собой произведение числа 99 на целое число $(a - c)$. По определению делимости, если число можно представить в виде произведения некоторого целого числа и числа 99, то оно делится на 99 без остатка.

Таким образом, доказано, что число $\overline{abc} - \overline{cba}$ делится на 99.

Ответ: Разность чисел $\overline{abc} - \overline{cba}$ равна $99(a - c)$. Так как $a$ и $c$ — целые числа, то их разность $(a-c)$ также является целым числом. Следовательно, произведение $99(a-c)$ всегда делится на 99, что и требовалось доказать.