Номер 2.82, страница 64 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.82. Вынесите общий множитель за скобки:

1) $4a^3b-10a^2b^2+2ab^3;$

2) $18x^3y+21x^2y^2-3xy^3;$

3) $8x^5y^2-12x^4y^2+12x^3y^2-4x^2y^2;$

4) $-20x^2y^3z^2-35x^3y^2z^3+15x^3y^2z^2;$

5) $16a^5b-8a^4b^3-6a^3b^3+10a^2b^4;$

6) $6a^4x^3-15a^3x^4+15a^2x^5-9ax^6.$

1) Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении $4a^3b - 10a^2b^2 + 2ab^3$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для всех его членов.
Сначала определим НОД для числовых коэффициентов 4, 10 и 2. Он равен 2.
Затем найдем общие переменные в их наименьших степенях. Для переменной $a$ наименьшая степень - первая ($a^1=a$), для переменной $b$ наименьшая степень также первая ($b^1=b$).
Таким образом, общий множитель для всего выражения — это $2ab$.
Вынесем $2ab$ за скобки, разделив каждый член многочлена на этот множитель:
$4a^3b - 10a^2b^2 + 2ab^3 = 2ab \cdot (\frac{4a^3b}{2ab} - \frac{10a^2b^2}{2ab} + \frac{2ab^3}{2ab}) = 2ab(2a^2 - 5ab + b^2)$.
Ответ: $2ab(2a^2 - 5ab + b^2)$

2) Рассмотрим выражение $18x^3y + 21x^2y^2 - 3xy^3$.
Наибольший общий делитель коэффициентов 18, 21 и 3 равен 3.
Наименьшая степень переменной $x$, входящей во все члены, — первая ($x$).
Наименьшая степень переменной $y$, входящей во все члены, — первая ($y$).
Общий множитель равен $3xy$.
Выносим его за скобки:
$18x^3y + 21x^2y^2 - 3xy^3 = 3xy(6x^2 + 7xy - y^2)$.
Ответ: $3xy(6x^2 + 7xy - y^2)$

3) Рассмотрим выражение $8x^5y^2 - 12x^4y^2 + 12x^3y^2 - 4x^2y^2$.
Наибольший общий делитель коэффициентов 8, 12, 12 и 4 равен 4.
Наименьшая степень переменной $x$ — вторая ($x^2$).
Переменная $y$ входит во все члены в одинаковой степени — второй ($y^2$).
Общий множитель равен $4x^2y^2$.
Выносим его за скобки:
$8x^5y^2 - 12x^4y^2 + 12x^3y^2 - 4x^2y^2 = 4x^2y^2(2x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$.
Ответ: $4x^2y^2(2x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$

4) Рассмотрим выражение $-20x^2y^3z^2 - 35x^3y^2z^3 + 15x^3y^2z^2$.
Наибольший общий делитель модулей коэффициентов 20, 35 и 15 равен 5.
Наименьшая степень переменной $x$ — вторая ($x^2$).
Наименьшая степень переменной $y$ — вторая ($y^2$).
Наименьшая степень переменной $z$ — вторая ($z^2$).
Общий множитель равен $5x^2y^2z^2$.
Выносим его за скобки:
$-20x^2y^3z^2 - 35x^3y^2z^3 + 15x^3y^2z^2 = 5x^2y^2z^2(-4y - 7xz + 3x)$.
Для более удобного вида можно переставить слагаемые внутри скобок: $5x^2y^2z^2(3x - 4y - 7xz)$.
Ответ: $5x^2y^2z^2(3x - 4y - 7xz)$

5) Рассмотрим выражение $16a^5b - 8a^4b^3 - 6a^3b^3 + 10a^2b^4$.
Наибольший общий делитель коэффициентов 16, 8, 6 и 10 равен 2.
Наименьшая степень переменной $a$ — вторая ($a^2$).
Наименьшая степень переменной $b$ — первая ($b$).
Общий множитель равен $2a^2b$.
Выносим его за скобки:
$16a^5b - 8a^4b^3 - 6a^3b^3 + 10a^2b^4 = 2a^2b(8a^3 - 4a^2b^2 - 3ab^2 + 5b^3)$.
Ответ: $2a^2b(8a^3 - 4a^2b^2 - 3ab^2 + 5b^3)$

6) Рассмотрим выражение $6a^4x^3 - 15a^3x^4 + 15a^2x^5 - 9ax^6$.
Наибольший общий делитель коэффициентов 6, 15, 15 и 9 равен 3.
Наименьшая степень переменной $a$ — первая ($a$).
Наименьшая степень переменной $x$ — третья ($x^3$).
Общий множитель равен $3ax^3$.
Выносим его за скобки:
$6a^4x^3 - 15a^3x^4 + 15a^2x^5 - 9ax^6 = 3ax^3(2a^3 - 5a^2x + 5ax^2 - 3x^3)$.
Ответ: $3ax^3(2a^3 - 5a^2x + 5ax^2 - 3x^3)$