Номер 2.81, страница 64 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.81. Двузначное число имеет $a$ десятков и $b$ единиц. Между цифрами этого двузначного числа записали цифру $0$ и получили трехзначное число. Докажите, что разность полученного трехзначного числа и данного двузначного числа кратна $90$.

Пусть исходное двузначное число имеет $a$ десятков и $b$ единиц. В виде суммы разрядных слагаемых это число можно записать как $10a + b$. Согласно условию, $a$ является целым числом от 1 до 9, а $b$ — целым числом от 0 до 9.

После того как между цифрами $a$ и $b$ вставили цифру 0, получилось новое, трехзначное число. В этом числе $a$ — это цифра сотен, 0 — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. В виде суммы разрядных слагаемых это новое число можно записать как $100 \cdot a + 10 \cdot 0 + b$, что равно $100a + b$.

Теперь найдем разность полученного трехзначного числа и исходного двузначного числа. Для этого вычтем из второго числа первое:
$(100a + b) - (10a + b)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:
$100a + b - 10a - b = (100a - 10a) + (b - b) = 90a$

Разность равна $90a$. Поскольку $a$ — это целое число (количество десятков в исходном числе), то произведение $90a$ по определению является числом, кратным 90. Таким образом, мы доказали, что разность полученного трехзначного числа и данного двузначного числа всегда кратна 90.

Ответ: Разность между новым трехзначным и исходным двузначным числом равна $90a$. Так как $a$ является целым числом, выражение $90a$ всегда делится на 90 нацело, что и доказывает требуемое утверждение.