Номер 2.87, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.87. Представьте выражение в виде произведения:

1) $5x(2a-3b)+2y(2a-3b)+z(2a-3b);$

2) $7(c+2)+(c+2)^2-b(c+2);$

3) $2ab^2(3x+y)+4a(3x+y);$

4) $5xy^2(x^2-x+1)-15x^2y(x^2-x+1).$

1) Чтобы представить данное выражение в виде произведения, нужно найти общий множитель и вынести его за скобки. В выражении $5x(2a - 3b) + 2y(2a - 3b) + z(2a - 3b)$ мы видим, что каждое слагаемое содержит общий множитель $(2a - 3b)$.

Выносим общий множитель $(2a - 3b)$ за скобки. В скобках останется сумма коэффициентов, на которые умножался этот множитель:

$5x(2a - 3b) + 2y(2a - 3b) + z(2a - 3b) = (2a - 3b)(5x + 2y + z)$

Ответ: $(2a - 3b)(5x + 2y + z)$

2) В выражении $7(c + 2) + (c + 2)^2 - b(c + 2)$ общий множитель для всех членов — это $(c + 2)$.

Вынесем $(c + 2)$ за скобки. При этом учтем, что $(c + 2)^2$ — это $(c + 2) \cdot (c + 2)$.

$(c + 2) \cdot [7 + (c + 2) - b]$

Теперь упростим выражение во вторых (квадратных) скобках, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые:

$7 + c + 2 - b = c - b + 9$

Таким образом, итоговое произведение имеет вид:

$(c + 2)(c - b + 9)$

Ответ: $(c + 2)(c - b + 9)$

3) В выражении $2ab^2(3x + y) + 4a(3x + y)$ есть общий множитель в скобках $(3x + y)$. Кроме того, коэффициенты $2ab^2$ и $4a$ также имеют общий множитель. Найдем их наибольший общий делитель (НОД).

НОД($2ab^2$, $4a$) = $2a$.

Следовательно, полный общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $2a(3x + y)$.

Выполним вынесение за скобки:

$2a(3x + y) \cdot (\frac{2ab^2(3x + y)}{2a(3x + y)} + \frac{4a(3x + y)}{2a(3x + y)})$

После сокращения дробей в скобках получаем:

$2a(3x + y)(b^2 + 2)$

Ответ: $2a(3x + y)(b^2 + 2)$

4) В выражении $5xy^2(x^2 - x + 1) - 15x^2y(x^2 - x + 1)$ общим множителем является выражение в скобках $(x^2 - x + 1)$. Также найдем общий множитель для коэффициентов $5xy^2$ и $15x^2y$.

Найдем НОД для числовых коэффициентов, а также для каждой переменной:

НОД($5$, $15$) = $5$

НОД($x$, $x^2$) = $x$

НОД($y^2$, $y$) = $y$

Таким образом, общий множитель для коэффициентов равен $5xy$.

Полный общий множитель, который выносим за скобки, — это $5xy(x^2 - x + 1)$.

$5xy(x^2 - x + 1) \cdot (\frac{5xy^2(x^2 - x + 1)}{5xy(x^2 - x + 1)} - \frac{15x^2y(x^2 - x + 1)}{5xy(x^2 - x + 1)})$

После сокращения дробей в скобках получаем:

$5xy(x^2 - x + 1)(y - 3x)$

Ответ: $5xy(x^2 - x + 1)(y - 3x)$