Номер 2.91, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.91. Докажите, что сумма трех последовательных степеней с основанием 2 делится на 14.

Рассмотрим сумму трех последовательных степеней с основанием 2. Обозначим эти степени как $2^n$, $2^{n+1}$ и $2^{n+2}$, где $n$ — показатель первой (наименьшей) степени в последовательности.

Найдем сумму $S$ этих степеней:

$S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$

Чтобы доказать, что эта сумма делится на 14, преобразуем выражение. Вынесем за скобки общий множитель, которым является степень с наименьшим показателем, то есть $2^n$:

$S = 2^n(1 + 2^1 + 2^2)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$1 + 2^1 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7$

Подставим полученное значение обратно в выражение для суммы:

$S = 2^n \cdot 7$

Чтобы число делилось на 14, оно должно быть кратно 14. Разложим 14 на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$. Следовательно, нам нужно доказать, что сумма $S$ делится и на 2, и на 7.

Из выражения $S = 7 \cdot 2^n$ очевидно, что сумма всегда делится на 7.

Для того чтобы сумма делилась на 2, множитель $2^n$ должен содержать в себе множитель 2. Это справедливо для любого натурального показателя $n$ (т.е. $n \ge 1$). В таких задачах обычно подразумеваются именно натуральные показатели. Если $n \ge 1$, мы можем записать $2^n$ как $2 \cdot 2^{n-1}$.

Тогда выражение для суммы примет вид:

$S = 7 \cdot (2 \cdot 2^{n-1}) = (7 \cdot 2) \cdot 2^{n-1} = 14 \cdot 2^{n-1}$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n-1 \ge 0$, и $2^{n-1}$ является целым числом. Таким образом, сумма $S$ всегда может быть представлена как произведение 14 на целое число $2^{n-1}$, что и доказывает ее делимость на 14.

Примеры для проверки:
При $n=1$: $S = 2^1 + 2^2 + 2^3 = 2 + 4 + 8 = 14$. ($14 = 14 \cdot 1$)
При $n=2$: $S = 2^2 + 2^3 + 2^4 = 4 + 8 + 16 = 28$. ($28 = 14 \cdot 2$)
При $n=3$: $S = 2^3 + 2^4 + 2^5 = 8 + 16 + 32 = 56$. ($56 = 14 \cdot 4$)

Ответ: Сумма трех последовательных степеней с основанием 2 и натуральными показателями, наименьший из которых $n$, равна $S = 14 \cdot 2^{n-1}$. Так как при $n \ge 1$ выражение $2^{n-1}$ является целым числом, сумма всегда делится на 14.