Номер 2.90, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.90. Докажите, что сумма чисел $\overline{ab} + \overline{ba}$ делится на 11.

Чтобы доказать, что сумма чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ делится на 11, представим эти числа в виде суммы их разрядных слагаемых. В записи двузначного числа $\overline{ab}$ буква a обозначает цифру десятков, а b — цифру единиц.

Число $\overline{ab}$ можно представить в виде следующего алгебраического выражения:

$\overline{ab} = 10 \cdot a + b$

Аналогично, число $\overline{ba}$, где b — цифра десятков, а a — цифра единиц, можно записать как:

$\overline{ba} = 10 \cdot b + a$

Теперь найдем сумму этих двух чисел, сложив их алгебраические представления:

$\overline{ab} + \overline{ba} = (10a + b) + (10b + a)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными и упростим выражение:

$(10a + a) + (b + 10b) = 11a + 11b$

Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$11a + 11b = 11(a + b)$

Полученное выражение $11(a + b)$ является произведением числа 11 и суммы цифр $(a + b)$. Поскольку a и b — это цифры (целые числа от 0 до 9), их сумма $(a + b)$ также является целым числом.

Согласно определению делимости, если число можно представить в виде произведения $11 \cdot k$, где k — некоторое целое число, то это число делится на 11. В нашем случае $k = a+b$.

Таким образом, сумма чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ всегда делится на 11, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма чисел $\overline{ab} + \overline{ba}$ может быть представлена в виде $\overline{ab} + \overline{ba} = (10a+b) + (10b+a) = 11a + 11b = 11(a+b)$. Так как один из множителей в полученном произведении равен 11, то всё произведение делится на 11.