Номер 2.97, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.97. В зрительном зале 80 больших и малых электрических лампочек. В течение вечера горение одной большой лампочки обходится в 13 тг, а горение одной малой лампочки – в $9\frac{3}{4}$ тг. Сколько больших и сколько малых лампочек в зрительном зале, если освещение его в течение вечера обходится в 884 тг?

Решение

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество больших лампочек, а $y$ — количество малых лампочек.

Поскольку всего в зале 80 лампочек, первое уравнение системы будет:

$x + y = 80$

Стоимость горения одной большой лампочки за вечер составляет 13 тг, а одной малой — $9 \frac{3}{4}$ тг. Общая стоимость освещения за вечер — 884 тг. Второе уравнение системы будет отражать общую стоимость. Предварительно переведем смешанную дробь в десятичную для удобства вычислений:

$9 \frac{3}{4} = 9 + \frac{3}{4} = 9 + 0.75 = 9.75$

Теперь составим второе уравнение:

$13x + 9.75y = 884$

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 80 \\ 13x + 9.75y = 884 \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 80 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$13x + 9.75(80 - x) = 884$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$13x + 9.75 \cdot 80 - 9.75x = 884$

$13x + 780 - 9.75x = 884$

Сгруппируем слагаемые с $x$ и числа:

$(13 - 9.75)x = 884 - 780$

$3.25x = 104$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{104}{3.25}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{10400}{325} = 32$

Таким образом, в зале 32 большие лампочки.

Теперь найдем количество малых лампочек, подставив значение $x$ в уравнение $y = 80 - x$:

$y = 80 - 32 = 48$

Следовательно, в зале 48 малых лампочек.

Проверка

Проверим, соответствуют ли найденные значения условию задачи.

1. Общее количество лампочек: $32 \text{ (больших)} + 48 \text{ (малых)} = 80$. Условие выполняется.

2. Общая стоимость: $13 \cdot 32 + 9.75 \cdot 48 = 416 + 468 = 884$ тг. Условие выполняется.

Ответ: в зрительном зале 32 большие и 48 малых лампочек.