Номер 2.102, страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.102. Выполните умножение:

1) $(a+b)(x-y)$;

2) $(a-b)(x+y)$;

3) $(m-n)(p+q)$;

4) $(a+b)(a+2)$;

5) $(y+2)(y-3)$;

6) $(a+1)(a-3)$;

7) $(p+x)(q-y)$;

8) $(a+b)(c-d)$;

9) $(x+1)(x-1)$.

Для выполнения умножения двух многочленов (в данном случае — двучленов) используется правило: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго, а затем полученные произведения складываются. Общая формула: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.

1) Выполним умножение $(a+b)(x-y)$:
$(a+b)(x-y) = a \cdot x + a \cdot (-y) + b \cdot x + b \cdot (-y) = ax - ay + bx - by$.
Подобные слагаемые в полученном выражении отсутствуют.
Ответ: $ax - ay + bx - by$

2) Выполним умножение $(a-b)(x+y)$:
$(a-b)(x+y) = a \cdot x + a \cdot y + (-b) \cdot x + (-b) \cdot y = ax + ay - bx - by$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $ax + ay - bx - by$

3) Выполним умножение $(m-n)(p+q)$:
$(m-n)(p+q) = m \cdot p + m \cdot q + (-n) \cdot p + (-n) \cdot q = mp + mq - np - nq$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $mp + mq - np - nq$

4) Выполним умножение $(a+b)(a+2)$:
$(a+b)(a+2) = a \cdot a + a \cdot 2 + b \cdot a + b \cdot 2 = a^2 + 2a + ab + 2b$.
Подобные слагаемые отсутствуют. Для удобства можно записать в стандартном виде: $a^2 + ab + 2a + 2b$.
Ответ: $a^2 + ab + 2a + 2b$

5) Выполним умножение $(y+2)(y-3)$:
$(y+2)(y-3) = y \cdot y + y \cdot (-3) + 2 \cdot y + 2 \cdot (-3) = y^2 - 3y + 2y - 6$.
Приведем подобные слагаемые: $-3y + 2y = -y$.
$y^2 - 3y + 2y - 6 = y^2 - y - 6$.
Ответ: $y^2 - y - 6$

6) Выполним умножение $(a+1)(a-3)$:
$(a+1)(a-3) = a \cdot a + a \cdot (-3) + 1 \cdot a + 1 \cdot (-3) = a^2 - 3a + a - 3$.
Приведем подобные слагаемые: $-3a + a = -2a$.
$a^2 - 3a + a - 3 = a^2 - 2a - 3$.
Ответ: $a^2 - 2a - 3$

7) Выполним умножение $(p+x)(q-y)$:
$(p+x)(q-y) = p \cdot q + p \cdot (-y) + x \cdot q + x \cdot (-y) = pq - py + qx - xy$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $pq - py + qx - xy$

8) Выполним умножение $(a+b)(c-d)$:
$(a+b)(c-d) = a \cdot c + a \cdot (-d) + b \cdot c + b \cdot (-d) = ac - ad + bc - bd$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $ac - ad + bc - bd$

9) Выполним умножение $(x+1)(x-1)$:
Данное выражение является произведением суммы и разности двух выражений, которое можно раскрыть по формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=1$.
$(x+1)(x-1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Можно также решить задачу, используя стандартное правило умножения многочленов:
$(x+1)(x-1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-1) = x^2 - x + x - 1 = x^2 - 1$.
Ответ: $x^2 - 1$