Номер 2.108, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.108. Представьте многочлен в виде произведения:

1) $x^3+3x^2+3x+9;$

2) $x^2-xy-2x+2y;$

3) $m^2+mn-5m-5n;$

4) $a^2-ab-3a+3b;$

5) $10ay-5by+2ax-bx;$

6) $6by-15bx-4ay+10ax;$

7) $5x^2-5ax-7a+7x;$

8) $4x^2-4xz-3x+3z;$

9) $5ax-6bx-5ay+6by;$

10) $2m^2-mn+2mx-nx.$

1) Представим многочлен $x^3+3x^2+3x+9$ в виде произведения, используя метод группировки. Сгруппируем слагаемые попарно: $(x^3+3x^2)+(3x+9)$. Из первой группы вынесем общий множитель $x^2$, а из второй — $3$. Получим выражение: $x^2(x+3)+3(x+3)$. Теперь вынесем за скобки общий для обоих слагаемых множитель $(x+3)$, что приведет к итоговому произведению $(x+3)(x^2+3)$.
Ответ: $(x+3)(x^2+3)$

2) Для разложения на множители многочлена $x^2-xy-2x+2y$ сгруппируем его члены: $(x^2-xy)+(-2x+2y)$. В первой группе вынесем за скобки $x$, а во второй — $-2$. Это даст нам $x(x-y)-2(x-y)$. Теперь мы видим общий множитель $(x-y)$, который можно вынести за скобки, получив $(x-y)(x-2)$.
Ответ: $(x-y)(x-2)$

3) Разложим многочлен $m^2+mn-5m-5n$ на множители. Сгруппируем члены: $(m^2+mn)+(-5m-5n)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $m(m+n)-5(m+n)$. Общим множителем является выражение $(m+n)$. Вынеся его, получим произведение $(m+n)(m-5)$.
Ответ: $(m+n)(m-5)$

4) В многочлене $a^2-ab-3a+3b$ сгруппируем слагаемые: $(a^2-ab)+(-3a+3b)$. Из первой группы выносим $a$, из второй — $-3$. Получаем: $a(a-b)-3(a-b)$. Затем выносим общий множитель $(a-b)$ и получаем итоговый вид $(a-b)(a-3)$.
Ответ: $(a-b)(a-3)$

5) Представим многочлен $10ay-5by+2ax-bx$ в виде произведения. Группируем слагаемые: $(10ay-5by)+(2ax-bx)$. Выносим общие множители из каждой группы: $5y(2a-b)+x(2a-b)$. Общий множитель $(2a-b)$ выносим за скобки, получая $(2a-b)(5y+x)$.
Ответ: $(2a-b)(5y+x)$

6) Для разложения многочлена $6by-15bx-4ay+10ax$ перегруппируем слагаемые для удобства: $6by-4ay-15bx+10ax$. Теперь сгруппируем их попарно: $(6by-4ay)+(-15bx+10ax)$. Выносим общие множители: $2y(3b-2a)-5x(3b-2a)$. Наконец, выносим общий множитель $(3b-2a)$, что дает нам $(3b-2a)(2y-5x)$.
Ответ: $(3b-2a)(2y-5x)$

7) В многочлене $5x^2-5ax-7a+7x$ изменим порядок слагаемых для удобства группировки: $5x^2-5ax+7x-7a$. Группируем: $(5x^2-5ax)+(7x-7a)$. Выносим общие множители из каждой скобки: $5x(x-a)+7(x-a)$. Теперь выносим общий множитель $(x-a)$ и получаем $(x-a)(5x+7)$.
Ответ: $(x-a)(5x+7)$

8) Разложим многочлен $4x^2-4xz-3x+3z$ на множители. Сгруппируем слагаемые: $(4x^2-4xz)+(-3x+3z)$. Вынесем общие множители: $4x(x-z)-3(x-z)$. Вынеся общий множитель $(x-z)$ за скобки, получим произведение $(x-z)(4x-3)$.
Ответ: $(x-z)(4x-3)$

9) Для разложения многочлена $5ax-6bx-5ay+6by$ перегруппируем его члены: $5ax-5ay-6bx+6by$. Сгруппируем их попарно: $(5ax-5ay)+(-6bx+6by)$. Вынесем общие множители: $5a(x-y)-6b(x-y)$. Выносим общий множитель $(x-y)$ и получаем $(x-y)(5a-6b)$.
Ответ: $(x-y)(5a-6b)$

10) Разложим на множители многочлен $2m^2-mn+2mx-nx$. Применим метод группировки: $(2m^2-mn)+(2mx-nx)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $m(2m-n)+x(2m-n)$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $(2m-n)$, что приводит к результату $(2m-n)(m+x)$.
Ответ: $(2m-n)(m+x)$