Страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

2. В каких случаях разложение многочлена на множители выполняют способом группировки?

По рис. 2.2 найдите:

1) сумму площадей закрашенных квадратов и незакрашенных прямоугольников;

2) площадь большого квадрата.

Приравняйте выражения, полученные в заданиях 1) и 2), и запишите полученное равенство.

Упражнения

3) $(x-2)(x-3)(x+6)(x-5)$

4) $(3m-1)(m+1)+(2m-1)(2m-5)$

Рис. 2.2

1. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена поочередно умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить (привести подобные слагаемые, если они есть).

Например, для умножения многочлена $(a+b)$ на многочлен $(c+d)$ применяется это правило:
$(a+b)(c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$

Ответ: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

2. В каких случаях разложение многочлена на множители выполняют способом группировки?

Способ группировки для разложения многочлена на множители применяют тогда, когда у всех членов многочлена нет общего множителя. Этот метод заключается в объединении членов многочлена в группы таким образом, чтобы в каждой группе появился свой общий множитель. После вынесения за скобки общих множителей в каждой группе должен образоваться новый, общий для всех групп множитель (обычно в виде многочлена в скобках), который затем также выносится за скобки.

Как правило, этот метод используется для многочленов, содержащих четыре или более слагаемых.

Например, разложим на множители многочлен $ax - 5y + 5x - ay$.
1. Сгруппируем члены: $(ax+5x) + (-ay-5y)$.
2. Вынесем общий множитель из каждой группы: $x(a+5) - y(a+5)$.
3. Вынесем за скобки общий множитель $(a+5)$: $(a+5)(x-y)$.

Ответ: Способ группировки применяют, когда члены многочлена не имеют общего для всех множителя, но их можно объединить в группы, имеющие общие множители, так, чтобы после вынесения этих множителей за скобки в каждой группе получился одинаковый общий множитель (в скобках), который затем также выносится за скобки.

По рис. 2.2 найдите:

1) сумму площадей закрашенных квадратов и незакрашенных прямоугольников;

Большой квадрат на рисунке 2.2 разделен на четыре фигуры. Найдем площадь каждой из них:

Площадь верхнего левого закрашенного квадрата со стороной $b$ равна $S_1 = b^2$.

Площадь нижнего правого закрашенного квадрата со стороной $a$ равна $S_2 = a^2$.

Площадь верхнего правого незакрашенного прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $S_3 = ab$.

Площадь нижнего левого незакрашенного прямоугольника со сторонами $b$ и $a$ равна $S_4 = ba = ab$.

Сумма площадей всех этих фигур (закрашенных и незакрашенных) равна:
$S_{сумма} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = b^2 + a^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$

2) площадь большого квадрата.

Сторона большого квадрата состоит из двух отрезков длиной $a$ и $b$. Следовательно, длина стороны большого квадрата равна $a+b$.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Таким образом, площадь большого квадрата $S_{большого}$ равна $(a+b)^2$.

Ответ: $(a+b)^2$

Приравняйте выражения, полученные в заданиях 1) и 2), и запишите полученное равенство.

Выражение, полученное в первом задании, представляет собой сумму площадей частей, составляющих большой квадрат. Выражение, полученное во втором задании, представляет собой площадь всей фигуры. Поскольку речь идет об одной и той же площади, эти выражения равны.

Приравниваем полученные выражения:

$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

Это равенство является формулой квадрата суммы.

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

2.102. Выполните умножение:

1) $(a+b)(x-y)$;

2) $(a-b)(x+y)$;

3) $(m-n)(p+q)$;

4) $(a+b)(a+2)$;

5) $(y+2)(y-3)$;

6) $(a+1)(a-3)$;

7) $(p+x)(q-y)$;

8) $(a+b)(c-d)$;

9) $(x+1)(x-1)$.

Для выполнения умножения двух многочленов (в данном случае — двучленов) используется правило: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго, а затем полученные произведения складываются. Общая формула: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.

1) Выполним умножение $(a+b)(x-y)$:
$(a+b)(x-y) = a \cdot x + a \cdot (-y) + b \cdot x + b \cdot (-y) = ax - ay + bx - by$.
Подобные слагаемые в полученном выражении отсутствуют.
Ответ: $ax - ay + bx - by$

2) Выполним умножение $(a-b)(x+y)$:
$(a-b)(x+y) = a \cdot x + a \cdot y + (-b) \cdot x + (-b) \cdot y = ax + ay - bx - by$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $ax + ay - bx - by$

3) Выполним умножение $(m-n)(p+q)$:
$(m-n)(p+q) = m \cdot p + m \cdot q + (-n) \cdot p + (-n) \cdot q = mp + mq - np - nq$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $mp + mq - np - nq$

4) Выполним умножение $(a+b)(a+2)$:
$(a+b)(a+2) = a \cdot a + a \cdot 2 + b \cdot a + b \cdot 2 = a^2 + 2a + ab + 2b$.
Подобные слагаемые отсутствуют. Для удобства можно записать в стандартном виде: $a^2 + ab + 2a + 2b$.
Ответ: $a^2 + ab + 2a + 2b$

5) Выполним умножение $(y+2)(y-3)$:
$(y+2)(y-3) = y \cdot y + y \cdot (-3) + 2 \cdot y + 2 \cdot (-3) = y^2 - 3y + 2y - 6$.
Приведем подобные слагаемые: $-3y + 2y = -y$.
$y^2 - 3y + 2y - 6 = y^2 - y - 6$.
Ответ: $y^2 - y - 6$

6) Выполним умножение $(a+1)(a-3)$:
$(a+1)(a-3) = a \cdot a + a \cdot (-3) + 1 \cdot a + 1 \cdot (-3) = a^2 - 3a + a - 3$.
Приведем подобные слагаемые: $-3a + a = -2a$.
$a^2 - 3a + a - 3 = a^2 - 2a - 3$.
Ответ: $a^2 - 2a - 3$

7) Выполним умножение $(p+x)(q-y)$:
$(p+x)(q-y) = p \cdot q + p \cdot (-y) + x \cdot q + x \cdot (-y) = pq - py + qx - xy$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $pq - py + qx - xy$

8) Выполним умножение $(a+b)(c-d)$:
$(a+b)(c-d) = a \cdot c + a \cdot (-d) + b \cdot c + b \cdot (-d) = ac - ad + bc - bd$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $ac - ad + bc - bd$

9) Выполним умножение $(x+1)(x-1)$:
Данное выражение является произведением суммы и разности двух выражений, которое можно раскрыть по формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=1$.
$(x+1)(x-1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Можно также решить задачу, используя стандартное правило умножения многочленов:
$(x+1)(x-1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-1) = x^2 - x + x - 1 = x^2 - 1$.
Ответ: $x^2 - 1$

2.103. Выполните умножение многочленов:

1) $(2x + 1)(x + 4);$

2) $(2x + 3)(5x - 4);$

3) $(3x - 2)(2a - 1);$

4) $(5a - 3b)(4a - b);$

5) $(2m + 3n)(2m - 5n);$

6) $(3x + 2y)(x - y);$

7) $(5b - 4c)(2b - 2c);$

8) $(p - 3q)(8p + 5q).$

1) Чтобы умножить многочлен $(2x+1)$ на многочлен $(x+4)$, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и затем сложить полученные произведения. Этот метод также известен как правило "фонтанчика" или применение распределительного закона.

$(2x+1)(x+4) = 2x \cdot x + 2x \cdot 4 + 1 \cdot x + 1 \cdot 4$
Выполним умножения:
$2x^2 + 8x + x + 4$
Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x$ в одинаковой степени):
$2x^2 + (8x + x) + 4 = 2x^2 + 9x + 4$
Ответ: $2x^2 + 9x + 4$.

2) Умножим многочлен $(2x+3)$ на $(5x-4)$ по тому же правилу:

$(2x+3)(5x-4) = 2x \cdot 5x + 2x \cdot (-4) + 3 \cdot 5x + 3 \cdot (-4)$
Выполним умножения:
$10x^2 - 8x + 15x - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$10x^2 + (-8x + 15x) - 12 = 10x^2 + 7x - 12$
Ответ: $10x^2 + 7x - 12$.

3) Умножим многочлен $(3x-2)$ на $(2a-1)$. Обратите внимание, что здесь используются разные переменные.

$(3x-2)(2a-1) = 3x \cdot 2a + 3x \cdot (-1) + (-2) \cdot 2a + (-2) \cdot (-1)$
Выполним умножения:
$6ax - 3x - 4a + 2$
В полученном выражении нет подобных слагаемых, так как все члены содержат разные комбинации переменных.
Ответ: $6ax - 3x - 4a + 2$.

4) Умножим многочлен $(5a-3b)$ на $(4a-b)$:

$(5a-3b)(4a-b) = 5a \cdot 4a + 5a \cdot (-b) + (-3b) \cdot 4a + (-3b) \cdot (-b)$
Выполним умножения:
$20a^2 - 5ab - 12ab + 3b^2$
Приведем подобные слагаемые (члены с $ab$):
$20a^2 + (-5ab - 12ab) + 3b^2 = 20a^2 - 17ab + 3b^2$
Ответ: $20a^2 - 17ab + 3b^2$.

5) Умножим многочлен $(2m+3n)$ на $(2m-5n)$:

$(2m+3n)(2m-5n) = 2m \cdot 2m + 2m \cdot (-5n) + 3n \cdot 2m + 3n \cdot (-5n)$
Выполним умножения:
$4m^2 - 10mn + 6mn - 15n^2$
Приведем подобные слагаемые (члены с $mn$):
$4m^2 + (-10mn + 6mn) - 15n^2 = 4m^2 - 4mn - 15n^2$
Ответ: $4m^2 - 4mn - 15n^2$.

6) Умножим многочлен $(3x+2y)$ на $(x-y)$:

$(3x+2y)(x-y) = 3x \cdot x + 3x \cdot (-y) + 2y \cdot x + 2y \cdot (-y)$
Выполним умножения:
$3x^2 - 3xy + 2xy - 2y^2$
Приведем подобные слагаемые (члены с $xy$):
$3x^2 + (-3xy + 2xy) - 2y^2 = 3x^2 - xy - 2y^2$
Ответ: $3x^2 - xy - 2y^2$.

7) Умножим многочлен $(5b-4c)$ на $(2b-2c)$:

$(5b-4c)(2b-2c) = 5b \cdot 2b + 5b \cdot (-2c) + (-4c) \cdot 2b + (-4c) \cdot (-2c)$
Выполним умножения:
$10b^2 - 10bc - 8bc + 8c^2$
Приведем подобные слагаемые (члены с $bc$):
$10b^2 + (-10bc - 8bc) + 8c^2 = 10b^2 - 18bc + 8c^2$
Ответ: $10b^2 - 18bc + 8c^2$.

8) Умножим многочлен $(p-3q)$ на $(8p+5q)$:

$(p-3q)(8p+5q) = p \cdot 8p + p \cdot 5q + (-3q) \cdot 8p + (-3q) \cdot 5q$
Выполним умножения:
$8p^2 + 5pq - 24pq - 15q^2$
Приведем подобные слагаемые (члены с $pq$):
$8p^2 + (5pq - 24pq) - 15q^2 = 8p^2 - 19pq - 15q^2$
Ответ: $8p^2 - 19pq - 15q^2$.

2.104. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(x + m)(y + m);$

2) $(x + 8)(x - 1);$

3) $(-a + y)(-y - 2);$

4) $(a - 4)(2a + 1);$

5) $(2x - 1)(2x + y);$

6) $(m - n)(x + y);$

7) $(5 - a)(4 - a);$

8) $(6m - 3)(2 - 5m).$

1) Чтобы представить выражение $(x+m)(y+m)$ в виде многочлена, необходимо каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго двучлена и сложить полученные произведения. Этот процесс также известен как правило раскрытия скобок или метод "фонтанчика".

$(x+m)(y+m) = x \cdot y + x \cdot m + m \cdot y + m \cdot m$

Выполним умножение для каждого члена:

$x \cdot y = xy$

$x \cdot m = xm$

$m \cdot y = my$

$m \cdot m = m^2$

Сложив полученные одночлены, получаем многочлен:

$xy + xm + my + m^2$

В данном выражении нет подобных слагаемых (членов с одинаковой буквенной частью), поэтому это и есть окончательный ответ.

Ответ: $xy + xm + my + m^2$

2) Умножим двучлен $(x+8)$ на двучлен $(x-1)$, применяя то же правило:

$(x+8)(x-1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 8 \cdot x + 8 \cdot (-1) = x^2 - x + 8x - 8$

В полученном выражении есть подобные слагаемые: $-x$ и $8x$. Приведем их:

$-x + 8x = 7x$

Подставим результат обратно в выражение:

$x^2 + 7x - 8$

Ответ: $x^2 + 7x - 8$

3) Умножим двучлен $(-a+y)$ на двучлен $(-y-2)$:

$(-a+y)(-y-2) = (-a) \cdot (-y) + (-a) \cdot (-2) + y \cdot (-y) + y \cdot (-2)$

Выполним умножение:

$ay + 2a - y^2 - 2y$

Подобных слагаемых в этом выражении нет. Можно упорядочить члены многочлена по стандартному виду, но это не обязательно. Результат является верным.

Ответ: $ay + 2a - y^2 - 2y$

4) Умножим двучлен $(a-4)$ на двучлен $(2a+1)$:

$(a-4)(2a+1) = a \cdot 2a + a \cdot 1 + (-4) \cdot 2a + (-4) \cdot 1 = 2a^2 + a - 8a - 4$

Приведем подобные слагаемые $a$ и $-8a$:

$a - 8a = -7a$

Запишем итоговый многочлен:

$2a^2 - 7a - 4$

Ответ: $2a^2 - 7a - 4$

5) Умножим двучлен $(2x-1)$ на двучлен $(2x+y)$:

$(2x-1)(2x+y) = 2x \cdot 2x + 2x \cdot y + (-1) \cdot 2x + (-1) \cdot y$

Выполним вычисления:

$4x^2 + 2xy - 2x - y$

Подобных слагаемых в полученном выражении нет.

Ответ: $4x^2 + 2xy - 2x - y$

6) Умножим двучлен $(m-n)$ на двучлен $(x+y)$:

$(m-n)(x+y) = m \cdot x + m \cdot y + (-n) \cdot x + (-n) \cdot y$

Результат умножения:

$mx + my - nx - ny$

Подобные слагаемые отсутствуют.

Ответ: $mx + my - nx - ny$

7) Умножим двучлен $(5-a)$ на двучлен $(4-a)$:

$(5-a)(4-a) = 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-a) + (-a) \cdot 4 + (-a) \cdot (-a) = 20 - 5a - 4a + a^2$

Приведем подобные слагаемые $-5a$ и $-4a$:

$-5a - 4a = -9a$

Теперь запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $a$:

$a^2 - 9a + 20$

Ответ: $a^2 - 9a + 20$

8) Умножим двучлен $(6m-3)$ на двучлен $(2-5m)$:

$(6m-3)(2-5m) = 6m \cdot 2 + 6m \cdot (-5m) + (-3) \cdot 2 + (-3) \cdot (-5m)$

Выполним умножение:

$12m - 30m^2 - 6 + 15m$

Приведем подобные слагаемые $12m$ и $15m$:

$12m + 15m = 27m$

Запишем многочлен в стандартном виде по убыванию степеней переменной $m$:

$-30m^2 + 27m - 6$

Ответ: $-30m^2 + 27m - 6$