Страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.110. Выполните умножение:

1) $(2a^2 - 3b)(a^2 + 2ab + 5b^2)$;

2) $(x^2 - 2xy)(x^2 - 5xy + 3y^2)$;

3) $(x - y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)$;

4) $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$;

5) $(5a - 4b)(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3)$;

6) $(2x + 3y)(x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3)$.

1) $(2a^2 - 3b)(a^2 + 2ab + 5b^2)$

Для выполнения умножения многочленов раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго. Сначала умножим $2a^2$ на второй многочлен, а затем $-3b$.

$2a^2 \cdot (a^2 + 2ab + 5b^2) = 2a^2 \cdot a^2 + 2a^2 \cdot 2ab + 2a^2 \cdot 5b^2 = 2a^4 + 4a^3b + 10a^2b^2$

$-3b \cdot (a^2 + 2ab + 5b^2) = -3b \cdot a^2 - 3b \cdot 2ab - 3b \cdot 5b^2 = -3a^2b - 6ab^2 - 15b^3$

Теперь сложим полученные выражения:

$(2a^4 + 4a^3b + 10a^2b^2) + (-3a^2b - 6ab^2 - 15b^3) = 2a^4 + 4a^3b + 10a^2b^2 - 3a^2b - 6ab^2 - 15b^3$

В полученном многочлене нет подобных слагаемых, поэтому дальнейшее упрощение невозможно. Ответ записывается в стандартном виде.

Ответ: $2a^4 + 4a^3b + 10a^2b^2 - 3a^2b - 6ab^2 - 15b^3$

2) $(x^2 - 2xy)(x^2 - 5xy + 3y^2)$

Раскроем скобки, умножив каждый член из первой скобки на многочлен во второй скобке:

$x^2(x^2 - 5xy + 3y^2) = x^4 - 5x^3y + 3x^2y^2$

$-2xy(x^2 - 5xy + 3y^2) = -2x^3y + 10x^2y^2 - 6xy^3$

Сложим результаты и приведем подобные слагаемые:

$(x^4 - 5x^3y + 3x^2y^2) + (-2x^3y + 10x^2y^2 - 6xy^3) = x^4 - 5x^3y + 3x^2y^2 - 2x^3y + 10x^2y^2 - 6xy^3$

Группируем подобные члены: $x^4 + (-5x^3y - 2x^3y) + (3x^2y^2 + 10x^2y^2) - 6xy^3$

Результат: $x^4 - 7x^3y + 13x^2y^2 - 6xy^3$

Ответ: $x^4 - 7x^3y + 13x^2y^2 - 6xy^3$

3) $(x - y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)$

Выполним умножение, распределяя каждый член из первой скобки по второй:

$(x - y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3) = x(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3) - y(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)$

$= (x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3) - (x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)$

$= x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 - x^3y - x^2y^2 - xy^3 - y^4$

Приведем подобные слагаемые. Заметим, что промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$x^4 + (x^3y - x^3y) + (x^2y^2 - x^2y^2) + (xy^3 - xy^3) - y^4 = x^4 - y^4$

Данное выражение является частным случаем формулы разности степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$ для $n=4$.

Ответ: $x^4 - y^4$

4) $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$

Раскроем скобки, умножая $(a+b)$ на каждый член второго многочлена:

$a(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) + b(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$

$= (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3) + (a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4)$

$= a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$a^4 + (-a^3b + a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (-ab^3 + ab^3) - b^4 = a^4 - b^4$

Можно также заметить, что второй множитель можно сгруппировать: $a^2(a-b) + b^2(a-b) = (a-b)(a^2+b^2)$. Тогда исходное выражение равно $(a+b)(a-b)(a^2+b^2) = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = a^4-b^4$.

Ответ: $a^4 - b^4$

5) $(5a - 4b)(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3)$

Выполним умножение по частям:

$5a(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3) = 5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3$

$-4b(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3) = -4a^3b - 8a^2b^2 + 20ab^3 + 12b^4$

Сложим полученные многочлены и сгруппируем подобные члены:

$(5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3) + (-4a^3b - 8a^2b^2 + 20ab^3 + 12b^4)$

$= 5a^4 + (10a^3b - 4a^3b) + (-25a^2b^2 - 8a^2b^2) + (-15ab^3 + 20ab^3) + 12b^4$

$= 5a^4 + 6a^3b - 33a^2b^2 + 5ab^3 + 12b^4$

Ответ: $5a^4 + 6a^3b - 33a^2b^2 + 5ab^3 + 12b^4$

6) $(2x + 3y)(x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3)$

Раскроем скобки, выполнив умножение по частям:

$2x(x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3) = 2x^4 + 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3$

$3y(x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3) = 3x^3y + 9x^2y^2 - 9xy^3 + 12y^4$

Сложим результаты и приведем подобные слагаемые:

$(2x^4 + 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3) + (3x^3y + 9x^2y^2 - 9xy^3 + 12y^4)$

$= 2x^4 + (6x^3y + 3x^3y) + (-6x^2y^2 + 9x^2y^2) + (8xy^3 - 9xy^3) + 12y^4$

$= 2x^4 + 9x^3y + 3x^2y^2 - xy^3 + 12y^4$

Ответ: $2x^4 + 9x^3y + 3x^2y^2 - xy^3 + 12y^4$

2.111. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(x-2)(x+3)+(x+2)(x-3);$

2) $(a-1)(a+2)+(a+1)(a-2);$

3) $(a+1)(a+2)+(a+3)(a+4);$

4) $(x-1)(x-2)+(x-3)(x-4).$

1) Чтобы представить выражение $(x-2)(x+3) + (x+2)(x-3)$ в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки в каждом слагаемом и затем привести подобные члены.

Сначала раскроем скобки в первом произведении, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(x-2)(x+3) = x \cdot x + x \cdot 3 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3 = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$.

Теперь раскроем скобки во втором произведении:

$(x+2)(x-3) = x \cdot x - x \cdot 3 + 2 \cdot x - 2 \cdot 3 = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$.

Теперь сложим полученные многочлены:

$(x^2 + x - 6) + (x^2 - x - 6) = x^2 + x - 6 + x^2 - x - 6$.

Приведем подобные члены, сгруппировав их:

$(x^2 + x^2) + (x - x) + (-6 - 6) = 2x^2 + 0 - 12 = 2x^2 - 12$.

Ответ: $2x^2 - 12$.

2) Рассмотрим выражение $(a-1)(a+2) + (a+1)(a-2)$. Решим его аналогичным образом.

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$(a-1)(a+2) = a \cdot a + a \cdot 2 - 1 \cdot a - 1 \cdot 2 = a^2 + 2a - a - 2 = a^2 + a - 2$.

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$(a+1)(a-2) = a \cdot a - a \cdot 2 + 1 \cdot a - 1 \cdot 2 = a^2 - 2a + a - 2 = a^2 - a - 2$.

Сложим полученные многочлены:

$(a^2 + a - 2) + (a^2 - a - 2) = a^2 + a - 2 + a^2 - a - 2$.

Приведем подобные члены:

$(a^2 + a^2) + (a - a) + (-2 - 2) = 2a^2 + 0 - 4 = 2a^2 - 4$.

Ответ: $2a^2 - 4$.

3) Представим в виде многочлена выражение $(a+1)(a+2) + (a+3)(a+4)$.

Раскроем скобки в первом произведении:

$(a+1)(a+2) = a^2 + 2a + a + 2 = a^2 + 3a + 2$.

Раскроем скобки во втором произведении:

$(a+3)(a+4) = a^2 + 4a + 3a + 12 = a^2 + 7a + 12$.

Сложим полученные многочлены:

$(a^2 + 3a + 2) + (a^2 + 7a + 12) = a^2 + 3a + 2 + a^2 + 7a + 12$.

Приведем подобные члены:

$(a^2 + a^2) + (3a + 7a) + (2 + 12) = 2a^2 + 10a + 14$.

Ответ: $2a^2 + 10a + 14$.

4) Упростим выражение $(x-1)(x-2) + (x-3)(x-4)$.

Раскроем скобки в первом произведении:

$(x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.

Раскроем скобки во втором произведении:

$(x-3)(x-4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$.

Сложим полученные многочлены:

$(x^2 - 3x + 2) + (x^2 - 7x + 12) = x^2 - 3x + 2 + x^2 - 7x + 12$.

Приведем подобные члены:

$(x^2 + x^2) + (-3x - 7x) + (2 + 12) = 2x^2 - 10x + 14$.

Ответ: $2x^2 - 10x + 14$.

2.112. Найдите значение выражения:

1) $(x-4)(x-2)-(x-1)(x-3)$ при $x=1\frac{3}{4}$;

2) $(a-5)(a-1)-(a+2)(a-3)$ при $a=-2\frac{3}{5}$;

3) $(x-2)(x-3)+(x+6)(x-5)-2(x^2-7x+13)$ при $x=5,6$;

4) $(3m-1)(m+1)+(2m-1)(m-1)-(5m+5)(m-2)$ при $m=0,375$.

1) Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$(x-4)(x-2) - (x-1)(x-3) = (x^2 - 2x - 4x + 8) - (x^2 - 3x - x + 3)$
$= (x^2 - 6x + 8) - (x^2 - 4x + 3)$
$= x^2 - 6x + 8 - x^2 + 4x - 3$
$= (x^2 - x^2) + (-6x + 4x) + (8 - 3) = -2x + 5$.
Теперь подставим в упрощенное выражение значение $x = 1\frac{3}{4}$.
Представим смешанную дробь в виде неправильной дроби: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.
$-2x + 5 = -2 \cdot \left(\frac{7}{4}\right) + 5 = -\frac{14}{4} + 5 = -\frac{7}{2} + 5 = -3,5 + 5 = 1,5$.
Ответ: 1,5.

2) Сначала упростим выражение:
$(a-5)(a-1) - (a+2)(a-3) = (a^2 - a - 5a + 5) - (a^2 - 3a + 2a - 6)$
$= (a^2 - 6a + 5) - (a^2 - a - 6)$
$= a^2 - 6a + 5 - a^2 + a + 6$
$= (a^2 - a^2) + (-6a + a) + (5 + 6) = -5a + 11$.
Теперь подставим значение $a = -2\frac{3}{5}$.
Представим смешанную дробь в виде неправильной дроби: $-2\frac{3}{5} = -\frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = -\frac{13}{5}$.
$-5a + 11 = -5 \cdot \left(-\frac{13}{5}\right) + 11 = 13 + 11 = 22$.
Ответ: 22.

3) Упростим выражение, раскрыв все скобки:
$(x-2)(x-3) + (x+6)(x-5) - 2(x^2-7x+13)$
$= (x^2 - 3x - 2x + 6) + (x^2 - 5x + 6x - 30) - (2x^2 - 14x + 26)$
$= (x^2 - 5x + 6) + (x^2 + x - 30) - 2x^2 + 14x - 26$
$= x^2 - 5x + 6 + x^2 + x - 30 - 2x^2 + 14x - 26$
Приведем подобные слагаемые:
$= (x^2 + x^2 - 2x^2) + (-5x + x + 14x) + (6 - 30 - 26)$
$= 0 + 10x - 50 = 10x - 50$.
Подставим в упрощенное выражение значение $x=5,6$:
$10x - 50 = 10 \cdot 5,6 - 50 = 56 - 50 = 6$.
Ответ: 6.

4) Упростим выражение:
$(3m-1)(m+1) + (2m-1)(m-1) - (5m+5)(m-2)$
$= (3m^2 + 3m - m - 1) + (2m^2 - 2m - m + 1) - (5m^2 - 10m + 5m - 10)$
$= (3m^2 + 2m - 1) + (2m^2 - 3m + 1) - (5m^2 - 5m - 10)$
$= 3m^2 + 2m - 1 + 2m^2 - 3m + 1 - 5m^2 + 5m + 10$
Приведем подобные слагаемые:
$= (3m^2 + 2m^2 - 5m^2) + (2m - 3m + 5m) + (-1 + 1 + 10)$
$= 0 + 4m + 10 = 4m + 10$.
Подставим значение $m = 0,375$. Удобнее представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$.
$4m + 10 = 4 \cdot \frac{3}{8} + 10 = \frac{12}{8} + 10 = \frac{3}{2} + 10 = 1,5 + 10 = 11,5$.
Ответ: 11,5.

2.113. Выполните умножение:

1) $ (4b^2 + 2a^2 - 4ab)(3ab + 2a^2 - 3b^3) $

2) $ (5ab - 3a^2 - 2b^2)(-4b^2 - ab + 6a^2) $

3) $ (7 + 3a^2 - 3a)(5 - 2a - a^2) $

4) $ (5xy^2 - 3x^3 + 2x^2y)(2x^2 - xy - 4y^2) $

1) $(4b^2 + 2a^2 - 4ab)(3ab + 2a^2 - 3b^3)$
Чтобы выполнить умножение, умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Для удобства можно предварительно упорядочить члены многочленов:
$(2a^2 - 4ab + 4b^2)(2a^2 + 3ab - 3b^3) = 2a^2(2a^2 + 3ab - 3b^3) - 4ab(2a^2 + 3ab - 3b^3) + 4b^2(2a^2 + 3ab - 3b^3) = $
$= (4a^4 + 6a^3b - 6a^2b^3) - (8a^3b + 12a^2b^2 - 12ab^4) + (8a^2b^2 + 12ab^3 - 12b^5) = $
$= 4a^4 + 6a^3b - 6a^2b^3 - 8a^3b - 12a^2b^2 + 12ab^4 + 8a^2b^2 + 12ab^3 - 12b^5$.
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= 4a^4 + (6a^3b - 8a^3b) + (-12a^2b^2 + 8a^2b^2) + 12ab^3 - 6a^2b^3 + 12ab^4 - 12b^5 = $
$= 4a^4 - 2a^3b - 4a^2b^2 + 12ab^3 - 6a^2b^3 + 12ab^4 - 12b^5$.
Ответ: $4a^4 - 2a^3b - 4a^2b^2 + 12ab^3 - 6a^2b^3 + 12ab^4 - 12b^5$.

2) $(5ab - 3a^2 - 2b^2)(-4b^2 - ab + 6a^2)$
Упорядочим члены в каждом многочлене по убыванию степеней переменной $a$:
$(-3a^2 + 5ab - 2b^2)(6a^2 - ab - 4b^2) = -3a^2(6a^2 - ab - 4b^2) + 5ab(6a^2 - ab - 4b^2) - 2b^2(6a^2 - ab - 4b^2) = $
$= (-18a^4 + 3a^3b + 12a^2b^2) + (30a^3b - 5a^2b^2 - 20ab^3) - (12a^2b^2 - 2ab^3 - 8b^4) = $
$= -18a^4 + 3a^3b + 12a^2b^2 + 30a^3b - 5a^2b^2 - 20ab^3 - 12a^2b^2 + 2ab^3 + 8b^4$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= -18a^4 + (3a^3b + 30a^3b) + (12a^2b^2 - 5a^2b^2 - 12a^2b^2) + (-20ab^3 + 2ab^3) + 8b^4 = $
$= -18a^4 + 33a^3b - 5a^2b^2 - 18ab^3 + 8b^4$.
Ответ: $-18a^4 + 33a^3b - 5a^2b^2 - 18ab^3 + 8b^4$.

3) $(7 + 3a^2 - 3a)(5 - 2a - a^2)$
Упорядочим члены в каждом многочлене по убыванию степеней переменной $a$:
$(3a^2 - 3a + 7)(-a^2 - 2a + 5) = 3a^2(-a^2 - 2a + 5) - 3a(-a^2 - 2a + 5) + 7(-a^2 - 2a + 5) = $
$= (-3a^4 - 6a^3 + 15a^2) - (-3a^3 - 6a^2 + 15a) + (-7a^2 - 14a + 35) = $
$= -3a^4 - 6a^3 + 15a^2 + 3a^3 + 6a^2 - 15a - 7a^2 - 14a + 35$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= -3a^4 + (-6a^3 + 3a^3) + (15a^2 + 6a^2 - 7a^2) + (-15a - 14a) + 35 = $
$= -3a^4 - 3a^3 + 14a^2 - 29a + 35$.
Ответ: $-3a^4 - 3a^3 + 14a^2 - 29a + 35$.

4) $(5xy^2 - 3x^3 + 2x^2y)(2x^2 - xy - 4y^2)$
Упорядочим члены в первом многочлене по убыванию степеней переменной $x$:
$(-3x^3 + 2x^2y + 5xy^2)(2x^2 - xy - 4y^2) = -3x^3(2x^2 - xy - 4y^2) + 2x^2y(2x^2 - xy - 4y^2) + 5xy^2(2x^2 - xy - 4y^2) = $
$= (-6x^5 + 3x^4y + 12x^3y^2) + (4x^4y - 2x^3y^2 - 8x^2y^3) + (10x^3y^2 - 5x^2y^3 - 20xy^4) = $
$= -6x^5 + 3x^4y + 12x^3y^2 + 4x^4y - 2x^3y^2 - 8x^2y^3 + 10x^3y^2 - 5x^2y^3 - 20xy^4$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= -6x^5 + (3x^4y + 4x^4y) + (12x^3y^2 - 2x^3y^2 + 10x^3y^2) + (-8x^2y^3 - 5x^2y^3) - 20xy^4 = $
$= -6x^5 + 7x^4y + 20x^3y^2 - 13x^2y^3 - 20xy^4$.
Ответ: $-6x^5 + 7x^4y + 20x^3y^2 - 13x^2y^3 - 20xy^4$.

2.114. Представьте многочлен в виде произведения:

1) $ax^2-bx^2-bx+ax-a+b$;

2) $ax^2+bx^2-bx-ax+a+b$;

3) $ax^2+bx^2+ax-cx^2+bx-cx$;

4) $ax^2+bx^2-bx-ax+cx^2-cx$.

1) $ax^2-bx^2-bx+ax-a+b$

Для представления многочлена в виде произведения используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $a$, и слагаемые, содержащие множитель $b$:

$(ax^2+ax-a) + (-bx^2-bx+b)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Из первой группы выносим $a$, из второй $-b$:

$a(x^2+x-1) - b(x^2+x-1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x^2+x-1)$ за скобки:

$(a-b)(x^2+x-1)$

Ответ: $(a-b)(x^2+x-1)$

2) $ax^2+bx^2-bx-ax+a+b$

Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $a$, и слагаемые, содержащие множитель $b$:

$(ax^2-ax+a) + (bx^2-bx+b)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Из первой группы выносим $a$, из второй $b$:

$a(x^2-x+1) + b(x^2-x+1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x^2-x+1)$ за скобки:

$(a+b)(x^2-x+1)$

Ответ: $(a+b)(x^2-x+1)$

3) $ax^2+bx^2+ax-cx^2+bx-cx$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$(ax^2+bx^2-cx^2) + (ax+bx-cx)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. В первой группе вынесем $x^2$, во второй — $x$:

$x^2(a+b-c) + x(a+b-c)$

Вынесем за скобки общий множитель $(a+b-c)$:

$(a+b-c)(x^2+x)$

В выражении $(x^2+x)$ вынесем за скобки $x$:

$(a+b-c)x(x+1)$

Ответ: $x(x+1)(a+b-c)$

4) $ax^2+bx^2-bx-ax+cx^2-cx$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$(ax^2+bx^2+cx^2) + (-ax-bx-cx)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. В первой группе вынесем $x^2$, во второй — $-x$:

$x^2(a+b+c) - x(a+b+c)$

Вынесем за скобки общий множитель $(a+b+c)$:

$(a+b+c)(x^2-x)$

В выражении $(x^2-x)$ вынесем за скобки $x$:

$(a+b+c)x(x-1)$

Ответ: $x(x-1)(a+b+c)$

2.115. Разложите многочлен на множители:

1) $ac^2-ad+c^3-cd-bc^2+bd;$

2) $mx^2+my^2-nx^2-ny^2+n-m;$

3) $am^2+cm^2-an+an^2-cn+cn^2;$

4) $xy^2-ny^2-mx+mn+m^2x-m^2n;$

5) $a^2b+a+ab^2+b+2ab+2;$

6) $x^2-xy+x-xy^2+y^3-y^2.$

1) $ac^2 - ad + c^3 - cd - bc^2 + bd$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем слагаемые так, чтобы у каждой группы появился общий множитель. Переставим и сгруппируем члены многочлена следующим образом:

$(ac^2 - ad) + (c^3 - cd) - (bc^2 - bd)$

Теперь вынесем общие множители за скобки в каждой из групп:

$a(c^2 - d) + c(c^2 - d) - b(c^2 - d)$

Мы видим, что у всех трех слагаемых есть общий множитель $(c^2 - d)$. Вынесем его за скобки:

$(a + c - b)(c^2 - d)$

Для более привычного вида переставим слагаемые в первой скобке:

$(a - b + c)(c^2 - d)$

Ответ: $(a - b + c)(c^2 - d)$

2) $mx^2 + my^2 - nx^2 - ny^2 + n - m$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $m$, и слагаемые, содержащие переменную $n$:

$(mx^2 + my^2 - m) + (-nx^2 - ny^2 + n)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем $m$, а из второй $-n$:

$m(x^2 + y^2 - 1) - n(x^2 + y^2 - 1)$

Теперь у нас есть общий множитель $(x^2 + y^2 - 1)$, который мы можем вынести за скобки:

$(m - n)(x^2 + y^2 - 1)$

Ответ: $(m - n)(x^2 + y^2 - 1)$

3) $am^2 + cm^2 - an + an^2 - cn + cn^2$

Сгруппируем слагаемые по общим переменным. Сначала сгруппируем члены с $m^2$, затем с $n$, и затем с $n^2$:

$(am^2 + cm^2) - (an + cn) + (an^2 + cn^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$m^2(a + c) - n(a + c) + n^2(a + c)$

Теперь мы видим общий множитель $(a + c)$, вынесем его за скобки:

$(a + c)(m^2 - n + n^2)$

Ответ: $(a + c)(m^2 - n + n^2)$

4) $xy^2 - ny^2 - mx + mn + m^2x - m^2n$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, и слагаемые, не содержащие $x$ (содержащие $n$):

$(xy^2 - mx + m^2x) + (-ny^2 + mn - m^2n)$

Вынесем из первой группы общий множитель $x$, а из второй группы $-n$:

$x(y^2 - m + m^2) - n(y^2 - m + m^2)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(y^2 - m + m^2)$:

$(x - n)(y^2 - m + m^2)$

Переставим слагаемые во второй скобке для стандартного вида:

$(x - n)(y^2 + m^2 - m)$

Ответ: $(x - n)(y^2 + m^2 - m)$

5) $a^2b + a + ab^2 + b + 2ab + 2$

Перегруппируем слагаемые для выявления общей структуры. Сгруппируем члены, содержащие произведение $ab$, и оставшиеся члены:

$(a^2b + ab^2 + 2ab) + (a + b + 2)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $ab$:

$ab(a + b + 2) + 1 \cdot (a + b + 2)$

Теперь мы видим общий множитель $(a + b + 2)$, который можно вынести за скобки:

$(ab + 1)(a + b + 2)$

Ответ: $(ab + 1)(a + b + 2)$

6) $x^2 - xy + x - xy^2 + y^3 - y^2$

Сгруппируем первые три слагаемых и последние три слагаемых:

$(x^2 - xy + x) + (-xy^2 + y^3 - y^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $x$, а из второй $-y^2$:

$x(x - y + 1) - y^2(x - y + 1)$

Мы получили общий множитель $(x - y + 1)$. Вынесем его за скобки:

$(x - y^2)(x - y + 1)$

Ответ: $(x - y^2)(x - y + 1)$

2.116. Найдите значение выражения:

1) $a^2+ab-5a-5b$ при $a=6\frac{3}{5}$, $b=\frac{2}{5}$;

2) $x^2-xy-3x+3y$ при $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{4}$;

3) $5a^2-5ax-7a+7x$ при $a=4$, $x=-3$.

1) Чтобы найти значение выражения $a^2+ab-5a-5b$ при $a = 6\frac{3}{5}$ и $b = \frac{2}{5}$, сначала упростим его, применив метод группировки и вынесения общего множителя за скобки.

$a^2+ab-5a-5b = (a^2+ab) - (5a+5b) = a(a+b) - 5(a+b) = (a-5)(a+b)$.

Теперь подставим заданные значения переменных в упрощенное выражение.

Первый множитель: $a-5 = 6\frac{3}{5} - 5 = 1\frac{3}{5}$.

Второй множитель: $a+b = 6\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 6\frac{3+2}{5} = 6\frac{5}{5} = 7$.

Найдем произведение: $(a-5)(a+b) = 1\frac{3}{5} \cdot 7$.

Переведем $1\frac{3}{5}$ в неправильную дробь: $1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$.

Вычислим результат: $\frac{8}{5} \cdot 7 = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5} = 11.2$.

Ответ: $11.2$

2) Упростим выражение $x^2-xy-3x+3y$ при $x = \frac{1}{2}$ и $y = -\frac{1}{4}$ методом группировки.

$x^2-xy-3x+3y = (x^2-xy) - (3x-3y) = x(x-y) - 3(x-y) = (x-3)(x-y)$.

Подставим значения $x$ и $y$ в полученное выражение.

Первый множитель: $x-3 = \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{5}{2}$.

Второй множитель: $x-y = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Вычислим произведение: $(x-3)(x-y) = (-\frac{5}{2}) \cdot \frac{3}{4} = -\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 4} = -\frac{15}{8} = -1\frac{7}{8}$.

Ответ: $-1\frac{7}{8}$

3) Упростим выражение $5a^2-5ax-7a+7x$ при $a=4$ и $x=-3$ с помощью группировки.

$5a^2-5ax-7a+7x = (5a^2-5ax) - (7a-7x) = 5a(a-x) - 7(a-x) = (5a-7)(a-x)$.

Подставим значения $a=4$ и $x=-3$ в упрощенное выражение.

Первый множитель: $5a-7 = 5 \cdot 4 - 7 = 20 - 7 = 13$.

Второй множитель: $a-x = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$.

Найдем их произведение: $(5a-7)(a-x) = 13 \cdot 7 = 91$.

Ответ: $91$