Страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.92. Докажите, что сумма двух последовательных степеней с основанием 5 делится на 30.

Пусть даны две последовательные степени с основанием 5. Их можно представить в виде $5^n$ и $5^{n+1}$, где $n$ — некоторое натуральное число ($n \ge 1$).

Требуется доказать, что их сумма, которую обозначим как $S$, делится на 30.

Запишем сумму и преобразуем ее, вынеся за скобки общий множитель $5^n$: $S = 5^n + 5^{n+1} = 5^n + 5^n \cdot 5^1 = 5^n(1 + 5)$

Выполнив сложение в скобках, получим: $S = 5^n \cdot 6$

Чтобы доказать делимость на 30, необходимо показать, что выражение $S$ содержит множитель 30. Для этого представим $5^n$ как $5 \cdot 5^{n-1}$ (это возможно, так как $n \ge 1$).

$S = (5 \cdot 5^{n-1}) \cdot 6$

Перегруппируем множители: $S = (5 \cdot 6) \cdot 5^{n-1} = 30 \cdot 5^{n-1}$

Поскольку $n$ — натуральное число, показатель степени $n-1$ является целым неотрицательным числом. Это значит, что $5^{n-1}$ всегда будет целым числом (например, при $n=1$, $5^0=1$; при $n=2$, $5^1=5$; и т.д.).

Таким образом, сумма $S$ всегда может быть представлена как произведение числа 30 и некоторого целого числа $k=5^{n-1}$. По определению делимости, это означает, что сумма двух последовательных степеней с основанием 5 всегда делится на 30. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Сумма двух последовательных степеней с основанием 5 равна $5^n + 5^{n+1} = 5^n(1+5) = 6 \cdot 5^n = 30 \cdot 5^{n-1}$, что очевидно делится на 30 для любого натурального $n \ge 1$.

2.93. За 4 ч катер проходит по течению реки расстояние, в 2,4 раза большее, чем за 2 ч против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 1,5 км/ч?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Пусть $v_c$ – собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) в км/ч. Это искомая величина.
• Скорость течения реки известна: $v_т = 1,5$ км/ч.
• Скорость катера по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_c + v_т = v_c + 1,5$ км/ч.
• Скорость катера против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_c - v_т = v_c - 1,5$ км/ч.

Расстояние, которое катер проходит по течению за 4 часа, вычисляется по формуле $S = v \cdot t$:

$S_{по} = v_{по} \cdot 4 = (v_c + 1,5) \cdot 4$

Расстояние, которое катер проходит против течения за 2 часа:

$S_{против} = v_{против} \cdot 2 = (v_c - 1,5) \cdot 2$

По условию задачи, расстояние, пройденное по течению, в 2,4 раза больше расстояния, пройденного против течения. Составим уравнение:

$S_{по} = 2,4 \cdot S_{против}$

$(v_c + 1,5) \cdot 4 = 2,4 \cdot (v_c - 1,5) \cdot 2$

Теперь решим это уравнение относительно $v_c$.

Сначала упростим правую часть:

$(v_c + 1,5) \cdot 4 = 4,8 \cdot (v_c - 1,5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4v_c + 4 \cdot 1,5 = 4,8v_c - 4,8 \cdot 1,5$

$4v_c + 6 = 4,8v_c - 7,2$

Перенесем слагаемые, содержащие $v_c$, в одну сторону, а свободные члены – в другую:

$6 + 7,2 = 4,8v_c - 4v_c$

$13,2 = 0,8v_c$

Найдем $v_c$, разделив обе части уравнения на 0,8:

$v_c = \frac{13,2}{0,8} = \frac{132}{8} = 16,5$

Таким образом, скорость катера в стоячей воде составляет 16,5 км/ч.

Ответ: 16,5 км/ч.

2.94. На элеватор поступило 1400 т пшеницы двух сортов. При обработке пшеницы одного сорта оказалось 2% отходов, другого сорта – 3% отходов. После обработки получилось 1364 т пшеницы. Сколько тонн пшеницы каждого сорта поступило на элеватор?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — масса пшеницы первого сорта в тоннах, а $y$ — масса пшеницы второго сорта в тоннах.

Согласно условию, общая масса поступившей пшеницы составляет 1400 тонн. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 1400$

При обработке пшеницы первого сорта количество отходов составило 2%, значит, чистой продукции осталось $100\% - 2\% = 98\%$. Масса пшеницы первого сорта после обработки равна $0.98x$.

Для второго сорта количество отходов составило 3%, следовательно, чистой продукции осталось $100\% - 3\% = 97\%$. Масса пшеницы второго сорта после обработки равна $0.97y$.

Общая масса пшеницы после обработки составила 1364 тонны. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$0.98x + 0.97y = 1364$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 1400 \\ 0.98x + 0.97y = 1364 \end{cases} $

Для решения системы выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим $y$:

$y = 1400 - x$

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

$0.98x + 0.97(1400 - x) = 1364$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$0.98x + 1358 - 0.97x = 1364$

$0.01x = 1364 - 1358$

$0.01x = 6$

$x = \frac{6}{0.01}$

$x = 600$

Таким образом, на элеватор поступило 600 тонн пшеницы первого сорта.

Теперь найдем массу пшеницы второго сорта, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 1400 - 600$

$y = 800$

Значит, на элеватор поступило 800 тонн пшеницы второго сорта.

Проверим полученные результаты.
Общая масса: $600 \text{ т} + 800 \text{ т} = 1400 \text{ т}$ (соответствует условию).
Масса после обработки: $600 \cdot 0.98 + 800 \cdot 0.97 = 588 + 776 = 1364 \text{ т}$ (соответствует условию).

Ответ: на элеватор поступило 600 тонн пшеницы первого сорта и 800 тонн пшеницы второго сорта.

2.95. Вынесите общий множитель за скобки:

1) $(3x+6)^2$;

2) $(7x-14)^2$;

3) $(5m+30)^2$;

4) $(2a-4b)^3$;

5) $(3m-12n)^3$;

6) $(2ab-4b^2)^2$;

7) $(5x-15x^2)^3$;

8) $(2xy+6x^2)^5$.

1) В выражении $(3x + 6)^2$ вынесем общий множитель из скобок $(3x + 6)$. Общий множитель для $3x$ и $6$ равен $3$.
$3x + 6 = 3(x + 2)$
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$(3x + 6)^2 = (3(x + 2))^2$
Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:
$(3(x + 2))^2 = 3^2 \cdot (x + 2)^2 = 9(x + 2)^2$

Ответ: $9(x+2)^2$

2) В выражении $(7x - 14)^2$ вынесем общий множитель из скобок $(7x - 14)$. Общий множитель для $7x$ и $14$ равен $7$.
$7x - 14 = 7(x - 2)$
Подставим обратно в исходное выражение:
$(7x - 14)^2 = (7(x - 2))^2$
Применяя свойство степени, получаем:
$(7(x - 2))^2 = 7^2 \cdot (x - 2)^2 = 49(x - 2)^2$

Ответ: $49(x-2)^2$

3) В выражении $(5m + 30)^2$ вынесем общий множитель из скобок $(5m + 30)$. Общий множитель для $5m$ и $30$ равен $5$.
$5m + 30 = 5(m + 6)$
Подставим обратно в исходное выражение:
$(5m + 30)^2 = (5(m + 6))^2$
Применяя свойство степени, получаем:
$(5(m + 6))^2 = 5^2 \cdot (m + 6)^2 = 25(m + 6)^2$

Ответ: $25(m+6)^2$

4) В выражении $(2a - 4b)^3$ вынесем общий множитель из скобок $(2a - 4b)$. Общий множитель для $2a$ и $4b$ равен $2$.
$2a - 4b = 2(a - 2b)$
Подставим обратно в исходное выражение:
$(2a - 4b)^3 = (2(a - 2b))^3$
Применяя свойство степени, получаем:
$(2(a - 2b))^3 = 2^3 \cdot (a - 2b)^3 = 8(a - 2b)^3$

Ответ: $8(a-2b)^3$

5) В выражении $(3m - 12n)^3$ вынесем общий множитель из скобок $(3m - 12n)$. Общий множитель для $3m$ и $12n$ равен $3$.
$3m - 12n = 3(m - 4n)$
Подставим обратно в исходное выражение:
$(3m - 12n)^3 = (3(m - 4n))^3$
Применяя свойство степени, получаем:
$(3(m - 4n))^3 = 3^3 \cdot (m - 4n)^3 = 27(m - 4n)^3$

Ответ: $27(m-4n)^3$

6) В выражении $(2ab - 4b^2)^2$ вынесем общий множитель из скобок $(2ab - 4b^2)$. Общий множитель для $2ab$ и $4b^2$ равен $2b$.
$2ab - 4b^2 = 2b(a - 2b)$
Подставим обратно в исходное выражение:
$(2ab - 4b^2)^2 = (2b(a - 2b))^2$
Применяя свойство степени, получаем:
$(2b(a - 2b))^2 = (2b)^2 \cdot (a - 2b)^2 = 4b^2(a - 2b)^2$

Ответ: $4b^2(a-2b)^2$

7) В выражении $(5x - 15x^2)^3$ вынесем общий множитель из скобок $(5x - 15x^2)$. Общий множитель для $5x$ и $15x^2$ равен $5x$.
$5x - 15x^2 = 5x(1 - 3x)$
Подставим обратно в исходное выражение:
$(5x - 15x^2)^3 = (5x(1 - 3x))^3$
Применяя свойство степени, получаем:
$(5x(1 - 3x))^3 = (5x)^3 \cdot (1 - 3x)^3 = 125x^3(1 - 3x)^3$

Ответ: $125x^3(1-3x)^3$

8) В выражении $(2xy + 6x^2)^5$ вынесем общий множитель из скобок $(2xy + 6x^2)$. Общий множитель для $2xy$ и $6x^2$ равен $2x$.
$2xy + 6x^2 = 2x(y + 3x)$
Подставим обратно в исходное выражение:
$(2xy + 6x^2)^5 = (2x(y + 3x))^5$
Применяя свойство степени, получаем:
$(2x(y + 3x))^5 = (2x)^5 \cdot (y + 3x)^5 = 32x^5(y + 3x)^5$

Ответ: $32x^5(y+3x)^5$

2.96. Докажите, что значение выражения

1) $3^9+3^7+3^6$ делится на 93;

2) $11^9-11^8+11^7$ делится на 37.

1) Для того чтобы доказать, что значение выражения $3^9+3^7+3^6$ делится на 93, преобразуем его, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^6$:
$3^9+3^7+3^6 = 3^6(3^{9-6} + 3^{7-6} + 3^{6-6}) = 3^6(3^3 + 3^1 + 1)$.
Теперь вычислим значение выражения в скобках:
$27 + 3 + 1 = 31$.
Таким образом, исходное выражение можно записать в виде $3^6 \cdot 31$.
Чтобы доказать делимость на 93, разложим 93 на множители: $93 = 3 \cdot 31$.
Преобразуем наше выражение:
$3^6 \cdot 31 = 3^5 \cdot 3 \cdot 31 = 3^5 \cdot (3 \cdot 31) = 93 \cdot 3^5$.
Так как выражение представлено в виде произведения числа 93 на целое число $3^5$, оно делится на 93.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Для того чтобы доказать, что значение выражения $11^9-11^8+11^7$ делится на 37, преобразуем его, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $11^7$:
$11^9-11^8+11^7 = 11^7(11^{9-7} - 11^{8-7} + 11^{7-7}) = 11^7(11^2 - 11^1 + 1)$.
Теперь вычислим значение выражения в скобках:
$121 - 11 + 1 = 111$.
Таким образом, исходное выражение можно записать в виде $11^7 \cdot 111$.
Чтобы доказать делимость на 37, разложим число 111 на множители: $111 = 3 \cdot 37$.
Преобразуем наше выражение:
$11^7 \cdot 111 = 11^7 \cdot (3 \cdot 37) = 37 \cdot (3 \cdot 11^7)$.
Так как выражение представлено в виде произведения числа 37 на целое число $(3 \cdot 11^7)$, оно делится на 37.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2.97. В зрительном зале 80 больших и малых электрических лампочек. В течение вечера горение одной большой лампочки обходится в 13 тг, а горение одной малой лампочки – в $9\frac{3}{4}$ тг. Сколько больших и сколько малых лампочек в зрительном зале, если освещение его в течение вечера обходится в 884 тг?

Решение

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество больших лампочек, а $y$ — количество малых лампочек.

Поскольку всего в зале 80 лампочек, первое уравнение системы будет:

$x + y = 80$

Стоимость горения одной большой лампочки за вечер составляет 13 тг, а одной малой — $9 \frac{3}{4}$ тг. Общая стоимость освещения за вечер — 884 тг. Второе уравнение системы будет отражать общую стоимость. Предварительно переведем смешанную дробь в десятичную для удобства вычислений:

$9 \frac{3}{4} = 9 + \frac{3}{4} = 9 + 0.75 = 9.75$

Теперь составим второе уравнение:

$13x + 9.75y = 884$

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 80 \\ 13x + 9.75y = 884 \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 80 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$13x + 9.75(80 - x) = 884$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$13x + 9.75 \cdot 80 - 9.75x = 884$

$13x + 780 - 9.75x = 884$

Сгруппируем слагаемые с $x$ и числа:

$(13 - 9.75)x = 884 - 780$

$3.25x = 104$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{104}{3.25}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{10400}{325} = 32$

Таким образом, в зале 32 большие лампочки.

Теперь найдем количество малых лампочек, подставив значение $x$ в уравнение $y = 80 - x$:

$y = 80 - 32 = 48$

Следовательно, в зале 48 малых лампочек.

Проверка

Проверим, соответствуют ли найденные значения условию задачи.

1. Общее количество лампочек: $32 \text{ (больших)} + 48 \text{ (малых)} = 80$. Условие выполняется.

2. Общая стоимость: $13 \cdot 32 + 9.75 \cdot 48 = 416 + 468 = 884$ тг. Условие выполняется.

Ответ: в зрительном зале 32 большие и 48 малых лампочек.

2.98. Найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:

1) $y=3x-5$ и $y=4x-9$;

2) $y=6x+3$ и $y=3x-6$.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух линейных функций, необходимо приравнять их правые части, так как в точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обеих функций совпадают. Решив полученное уравнение, мы найдем абсциссу ($x$) точки пересечения. Затем, подставив найденное значение $x$ в уравнение любой из функций, мы найдем ординату ($y$) этой точки.

1) Даны функции $y=3x-5$ и $y=4x-9$.

Приравняем правые части уравнений:

$3x - 5 = 4x - 9$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$9 - 5 = 4x - 3x$

$4 = x$

Мы нашли абсциссу точки пересечения: $x=4$.

Теперь подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти ординату $y$:

$y = 3x - 5 = 3 \cdot 4 - 5 = 12 - 5 = 7$

Для проверки можно подставить $x=4$ и во второе уравнение:

$y = 4x - 9 = 4 \cdot 4 - 9 = 16 - 9 = 7$

Результаты совпадают. Таким образом, координаты точки пересечения — $(4; 7)$.

Ответ: $(4; 7)$.

2) Даны функции $y=6x+3$ и $y=3x-6$.

Приравняем правые части уравнений:

$6x + 3 = 3x - 6$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$6x - 3x = -6 - 3$

$3x = -9$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = -3$

Мы нашли абсциссу точки пересечения: $x=-3$.

Теперь подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти ординату $y$:

$y = 6x + 3 = 6 \cdot (-3) + 3 = -18 + 3 = -15$

Для проверки можно подставить $x=-3$ и во второе уравнение:

$y = 3x - 6 = 3 \cdot (-3) - 6 = -9 - 6 = -15$

Результаты совпадают. Таким образом, координаты точки пересечения — $(-3; -15)$.

Ответ: $(-3; -15)$.

2.99. Упростите выражение:

1) $(\frac{1}{3}a^5 \cdot y^3)^2 \cdot (-3ay)^3$;

2) $(-30x^2y^2)^2 : (-10xy^2)^3$.

1) $(\frac{1}{3}a^5y^3)^2 \cdot (-3ay)^3$

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Сначала возведем в степень каждый из множителей:

$(\frac{1}{3}a^5y^3)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (y^3)^2 = \frac{1}{9}a^{5 \cdot 2}y^{3 \cdot 2} = \frac{1}{9}a^{10}y^6$

$(-3ay)^3 = (-3)^3 \cdot a^3 \cdot y^3 = -27a^3y^3$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{1}{9}a^{10}y^6 \cdot (-27a^3y^3) = (\frac{1}{9} \cdot (-27)) \cdot (a^{10} \cdot a^3) \cdot (y^6 \cdot y^3)$

Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(\frac{1}{9} \cdot (-27)) = -3$

$a^{10} \cdot a^3 = a^{10+3} = a^{13}$

$y^6 \cdot y^3 = y^{6+3} = y^9$

Собираем все вместе:

$-3a^{13}y^9$

Ответ: $-3a^{13}y^9$

2) $(-30x^2y^2)^2 : (-10xy^2)^3$

Для упрощения этого выражения также используем свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$, а также свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Представим деление в виде дроби:

$\frac{(-30x^2y^2)^2}{(-10xy^2)^3}$

Возведем в степень числитель и знаменатель:

Числитель: $(-30x^2y^2)^2 = (-30)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^2)^2 = 900x^{2 \cdot 2}y^{2 \cdot 2} = 900x^4y^4$

Знаменатель: $(-10xy^2)^3 = (-10)^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 = -1000x^3y^{2 \cdot 3} = -1000x^3y^6$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{900x^4y^4}{-1000x^3y^6}$

Теперь сократим дробь. Сначала сократим числовые коэффициенты:

$\frac{900}{-1000} = -\frac{9}{10}$

Затем сократим переменные, используя правило деления степеней:

$\frac{x^4}{x^3} = x^{4-3} = x^1 = x$

$\frac{y^4}{y^6} = y^{4-6} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$

Соберем все части вместе:

$-\frac{9}{10} \cdot x \cdot \frac{1}{y^2} = -\frac{9x}{10y^2}$

Ответ: $-\frac{9x}{10y^2}$

2.100. Трехзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру переставить на первое место, то число увеличится на 324. Найдите трехзначное число.

Пусть искомое трехзначное число имеет вид $\overline{ab7}$. В этом обозначении $a$ — это цифра сотен, а $b$ — цифра десятков. Так как число трехзначное, $a$ не может быть нулем ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ может быть любой цифрой ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Значение этого числа можно представить в виде суммы разрядных слагаемых: $N_1 = 100a + 10b + 7$.

Если цифру 7 переставить на первое место, получится новое число $\overline{7ab}$. Его значение будет: $N_2 = 7 \cdot 100 + 10a + b = 700 + 10a + b$.

По условию задачи, новое число на 324 больше исходного. Это можно записать в виде уравнения: $N_2 = N_1 + 324$

Подставим выражения для $N_1$ и $N_2$: $700 + 10a + b = (100a + 10b + 7) + 324$

Теперь решим это уравнение относительно $a$ и $b$. $700 + 10a + b = 100a + 10b + 331$

Сгруппируем члены с переменными в одной части уравнения, а свободные члены — в другой: $700 - 331 = 100a - 10a + 10b - b$

$369 = 90a + 9b$

Мы видим, что все члены уравнения делятся на 9. Разделим обе части на 9 для упрощения: $\frac{369}{9} = \frac{90a + 9b}{9}$

$41 = 10a + b$

Выражение $10a + b$ — это в точности двузначное число, образованное первыми двумя цифрами исходного числа. Таким образом, мы получаем, что $a=4$ и $b=1$.

Следовательно, исходное трехзначное число было $\overline{ab7}$, то есть 417.

Проверим полученный результат: Исходное число — 417. Новое число, полученное перестановкой цифры 7, — 741. Разница между новым и исходным числом: $741 - 417 = 324$. Это в точности соответствует условию задачи.

Ответ: 417.