Страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен.

2. Что вы понимаете под разложением многочлена на множители?

3. Объясните, как правильно вынести общий множитель за скобки.

1. Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Это правило является следствием распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания. В общем виде его можно записать так:
$a \cdot (b + c - d) = a \cdot b + a \cdot c - a \cdot d$
Пример: Умножим одночлен $5x^2$ на многочлен $(2x^3 - 4xy + 3y^2)$.
$5x^2 \cdot (2x^3 - 4xy + 3y^2) = (5x^2 \cdot 2x^3) + (5x^2 \cdot (-4xy)) + (5x^2 \cdot 3y^2)$
Выполним умножение одночленов, перемножая их коэффициенты и складывая показатели степеней одинаковых переменных:
$= 10x^{2+3} - 20x^{2+1}y + 15x^2y^2$
$= 10x^5 - 20x^3y + 15x^2y^2$
В результате умножения одночлена на многочлен получается новый многочлен.
Ответ: Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

2. Что вы понимаете под разложением многочлена на множители?

Разложение многочлена на множители — это тождественное преобразование, в результате которого многочлен представляется в виде произведения двух или нескольких сомножителей (одночленов или многочленов).
Этот процесс является обратным по отношению к умножению многочленов. Например, если мы умножим одночлен $3a$ на многочлен $(2b - c)$, то получим многочлен $6ab - 3ac$.
$3a \cdot (2b - c) = 6ab - 3ac$
Следовательно, представление многочлена $6ab - 3ac$ в виде произведения $3a(2b - c)$ и есть его разложение на множители.
Разложение на множители — это ключевой приём в алгебре, который используется для упрощения выражений, решения уравнений, сокращения дробей и других преобразований.
Ответ: Разложение многочлена на множители — это его представление в виде произведения нескольких одночленов и/или многочленов.

3. Объясните, как правильно вынести общий множитель за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки — это один из основных методов разложения многочлена на множители. Чтобы правильно выполнить это действие, нужно следовать алгоритму:

Шаг 1. Найти общий множитель.
Общий множитель для всех членов многочлена ищется как произведение:
- Наибольшего общего делителя (НОД) модулей всех числовых коэффициентов.
- Каждой переменной, которая входит во все члены многочлена, взятой с наименьшим из имеющихся у неё показателей степени.

Шаг 2. Вынести общий множитель за скобки.
Записываем найденный на первом шаге общий множитель, а затем ставим открывающуюся скобку.

Шаг 3. Определить выражение в скобках.
Чтобы найти, какой многочлен останется в скобках, нужно каждый член исходного многочлена разделить на вынесенный общий множитель. Результаты деления записываются в скобках с сохранением их знаков.

Пример: Разложим на множители многочлен $12x^4y^2 - 18x^3y^3 + 30x^2y$.
1. Находим общий множитель:
- Коэффициенты: 12, -18, 30. Их НОД равен 6.
- Переменная $x$: входит со степенями 4, 3, 2. Наименьшая степень — 2, значит, берём $x^2$.
- Переменная $y$: входит со степенями 2, 3, 1. Наименьшая степень — 1, значит, берём $y$.
Общий множитель равен $6x^2y$.
2. Делим каждый член на $6x^2y$:
- $(12x^4y^2) : (6x^2y) = 2x^2y$
- $(-18x^3y^3) : (6x^2y) = -3xy^2$
- $(30x^2y) : (6x^2y) = 5$
3. Записываем итоговое выражение:
$12x^4y^2 - 18x^3y^3 + 30x^2y = 6x^2y(2x^2y - 3xy^2 + 5)$
Ответ: Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно найти общий множитель для всех членов многочлена (НОД коэффициентов и переменные в наименьших степенях), записать его перед скобкой, а в скобках записать результат деления каждого члена исходного многочлена на этот общий множитель.

2.61. Выполните умножение:

1) $4 \cdot (x + 3);$

2) $3 \cdot (x + 8);$

3) $2 \cdot (7 - a);$

4) $5 \cdot (p - 10);$

5) $6 \cdot (a - 2b);$

6) $(m + 3n) \cdot 4;$

7) $2 \cdot (3x - 2y) \cdot 3;$

8) $3 \cdot (2p - 5q) \cdot 7.$

1) Чтобы выполнить умножение одночлена на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена (использовать распределительный закон умножения). В данном случае умножаем 4 на каждый член в скобках $(x+3)$:

$4 \cdot (x + 3) = 4 \cdot x + 4 \cdot 3 = 4x + 12$

Ответ: $4x + 12$

2) Аналогично предыдущему примеру, умножаем 3 на каждый член в скобках $(x+8)$:

$3 \cdot (x + 8) = 3 \cdot x + 3 \cdot 8 = 3x + 24$

Ответ: $3x + 24$

3) Используем распределительный закон умножения относительно вычитания. Умножаем 2 на каждый член в скобках $(7-a)$:

$2 \cdot (7 - a) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot a = 14 - 2a$

Ответ: $14 - 2a$

4) Умножаем 5 на каждый член в скобках $(p-10)$:

$5 \cdot (p - 10) = 5 \cdot p - 5 \cdot 10 = 5p - 50$

Ответ: $5p - 50$

5) Умножаем 6 на каждый член в скобках $(a - 2b)$:

$6 \cdot (a - 2b) = 6 \cdot a - 6 \cdot (2b) = 6a - 12b$

Ответ: $6a - 12b$

6) В данном случае множитель 4 стоит после скобок. По переместительному закону умножения ($a \cdot b = b \cdot a$) результат не изменится. Умножаем каждый член в скобках $(m + 3n)$ на 4:

$(m + 3n) \cdot 4 = m \cdot 4 + 3n \cdot 4 = 4m + 12n$

Ответ: $4m + 12n$

7) В выражении $2 \cdot (3x - 2y) \cdot 3$ три множителя. Удобнее сначала перемножить числовые множители 2 и 3, а затем результат умножить на многочлен в скобках:

$2 \cdot (3x - 2y) \cdot 3 = (2 \cdot 3) \cdot (3x - 2y) = 6 \cdot (3x - 2y)$

Теперь применяем распределительный закон:

$6 \cdot (3x - 2y) = 6 \cdot 3x - 6 \cdot 2y = 18x - 12y$

Ответ: $18x - 12y$

8) Поступаем аналогично предыдущему примеру. Сначала перемножаем числовые множители 3 и 7:

$3 \cdot (2p - 5q) \cdot 7 = (3 \cdot 7) \cdot (2p - 5q) = 21 \cdot (2p - 5q)$

Теперь умножаем 21 на каждый член многочлена в скобках:

$21 \cdot (2p - 5q) = 21 \cdot 2p - 21 \cdot 5q = 42p - 105q$

Ответ: $42p - 105q$

2.62. Выполните умножение:

1) $(x+y) \cdot a;$

2) $b \cdot (x-y);$

3) $3x \cdot (2a+b);$

4) $2y \cdot (3x-y);$

5) $5x \cdot (6x+3y);$

6) $3a \cdot (-4b-2a);$

7) $-6a \cdot (5b-2a);$

8) $8m \cdot (m+n).$

1) Чтобы умножить многочлен $(x + y)$ на одночлен $a$, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен, используя распределительный закон умножения, и полученные произведения сложить.
$(x+y) \cdot a = x \cdot a + y \cdot a$
Поменяв множители местами для стандартного вида, получаем:
$ax + ay$
Ответ: $ax + ay$.

2) Для умножения $b \cdot (x - y)$ применим распределительный закон. Умножим $b$ на каждый член в скобках, сохраняя знак "минус" между произведениями.
$b \cdot (x - y) = b \cdot x - b \cdot y$
Запишем в стандартном виде:
$bx - by$
Ответ: $bx - by$.

3) Выполним умножение $3x \cdot (2a + b)$, используя распределительный закон. Умножим одночлен $3x$ на каждый член многочлена $(2a + b)$:
$3x \cdot (2a + b) = (3x \cdot 2a) + (3x \cdot b)$
Перемножим коэффициенты и переменные в каждом слагаемом:
$(3 \cdot 2 \cdot x \cdot a) + (3 \cdot x \cdot b) = 6ax + 3bx$
Ответ: $6ax + 3bx$.

4) Для умножения $2y \cdot (3x - y)$ применим распределительный закон. Умножим $2y$ на каждый член в скобках:
$2y \cdot (3x - y) = (2y \cdot 3x) - (2y \cdot y)$
Выполним умножение одночленов. При умножении $y$ на $y$ используем свойство степеней $y^1 \cdot y^1 = y^{1+1} = y^2$.
$(2 \cdot 3 \cdot y \cdot x) - (2 \cdot y^2) = 6xy - 2y^2$
Ответ: $6xy - 2y^2$.

5) Выполним умножение $5x \cdot (6x + 3y)$ по распределительному закону:
$5x \cdot (6x + 3y) = (5x \cdot 6x) + (5x \cdot 3y)$
Перемножим коэффициенты и переменные, помня, что $x \cdot x = x^2$:
$(5 \cdot 6 \cdot x \cdot x) + (5 \cdot 3 \cdot x \cdot y) = 30x^2 + 15xy$
Ответ: $30x^2 + 15xy$.

6) Для умножения $3a \cdot (-4b - 2a)$ применим распределительный закон. Умножим $3a$ на каждый член в скобках, обращая внимание на знаки:
$3a \cdot (-4b - 2a) = 3a \cdot (-4b) + 3a \cdot (-2a)$
Выполним умножение одночленов:
$(3 \cdot (-4) \cdot a \cdot b) + (3 \cdot (-2) \cdot a \cdot a) = -12ab - 6a^2$
Ответ: $-12ab - 6a^2$.

7) Выполним умножение $-6a \cdot (5b - 2a)$, используя распределительный закон и учитывая знаки:
$-6a \cdot (5b - 2a) = (-6a \cdot 5b) - (-6a \cdot 2a)$
Перемножим одночлены. Умножение отрицательного числа на отрицательное дает положительное.
$(-6 \cdot 5 \cdot a \cdot b) - (-6 \cdot 2 \cdot a \cdot a) = -30ab - (-12a^2)$
Раскроем скобки, изменив знак:
$-30ab + 12a^2$
Для стандартного вида многочлена запишем член с положительным знаком первым:
$12a^2 - 30ab$
Ответ: $12a^2 - 30ab$.

8) Для умножения $8m \cdot (m + n)$ применим распределительный закон:
$8m \cdot (m + n) = (8m \cdot m) + (8m \cdot n)$
Выполним умножение, помня, что $m \cdot m = m^2$:
$8m^2 + 8mn$
Ответ: $8m^2 + 8mn$.

2.63. Преобразуйте произведение в многочлен:

1) $-4x \cdot (2x^2 - 5x + 3);$

2) $(-2x) \cdot (x^2 - x + 1);$

3) $\left(-\frac{1}{2} a\right) \cdot (-4a^2 - 8a + 6);$

4) $\left(-\frac{1}{3} b\right) \cdot (-9b^2 + 3b - 12);$

5) $2ab \cdot (2a^2 - 5ab + b^2);$

6) $-3ab \cdot (2a^2 - 7ab - b^2);$

7) $-\frac{1}{2} xy \cdot (5x^2 + 10xy - 4y^2);$

8) $\left(-1 \frac{1}{2} m^2 - \frac{3}{4} mn + n^2\right) \cdot (-2mn).$

1) Чтобы преобразовать произведение в многочлен, умножим одночлен $-4x$ на каждый член многочлена $(2x^2 - 5x + 3)$, используя распределительное свойство:
$-4x \cdot (2x^2 - 5x + 3) = (-4x) \cdot (2x^2) + (-4x) \cdot (-5x) + (-4x) \cdot 3 = -8x^3 + 20x^2 - 12x$.
Ответ: $-8x^3 + 20x^2 - 12x$

2) Умножим одночлен $(-2x)$ на каждый член многочлена $(x^2 - x + 1)$:
$(-2x) \cdot (x^2 - x + 1) = (-2x) \cdot x^2 + (-2x) \cdot (-x) + (-2x) \cdot 1 = -2x^3 + 2x^2 - 2x$.
Ответ: $-2x^3 + 2x^2 - 2x$

3) Умножим одночлен $(-\frac{1}{2}a)$ на каждый член многочлена $(-4a^2 - 8a + 6)$:
$(-\frac{1}{2}a) \cdot (-4a^2 - 8a + 6) = (-\frac{1}{2}a) \cdot (-4a^2) + (-\frac{1}{2}a) \cdot (-8a) + (-\frac{1}{2}a) \cdot 6 = 2a^3 + 4a^2 - 3a$.
Ответ: $2a^3 + 4a^2 - 3a$

4) Умножим одночлен $(-\frac{1}{3}b)$ на каждый член многочлена $(-9b^2 + 3b - 12)$:
$(-\frac{1}{3}b) \cdot (-9b^2 + 3b - 12) = (-\frac{1}{3}b) \cdot (-9b^2) + (-\frac{1}{3}b) \cdot (3b) + (-\frac{1}{3}b) \cdot (-12) = 3b^3 - b^2 + 4b$.
Ответ: $3b^3 - b^2 + 4b$

5) Умножим одночлен $2ab$ на каждый член многочлена $(2a^2 - 5ab + b^2)$:
$2ab \cdot (2a^2 - 5ab + b^2) = (2ab) \cdot (2a^2) + (2ab) \cdot (-5ab) + (2ab) \cdot (b^2) = 4a^3b - 10a^2b^2 + 2ab^3$.
Ответ: $4a^3b - 10a^2b^2 + 2ab^3$

6) Умножим одночлен $-3ab$ на каждый член многочлена $(2a^2 - 7ab - b^2)$:
$-3ab \cdot (2a^2 - 7ab - b^2) = (-3ab) \cdot (2a^2) + (-3ab) \cdot (-7ab) + (-3ab) \cdot (-b^2) = -6a^3b + 21a^2b^2 + 3ab^3$.
Ответ: $-6a^3b + 21a^2b^2 + 3ab^3$

7) Умножим одночлен $-\frac{1}{2}xy$ на каждый член многочлена $(5x^2 + 10xy - 4y^2)$:
$-\frac{1}{2}xy \cdot (5x^2 + 10xy - 4y^2) = (-\frac{1}{2}xy) \cdot (5x^2) + (-\frac{1}{2}xy) \cdot (10xy) + (-\frac{1}{2}xy) \cdot (-4y^2) = -\frac{5}{2}x^3y - 5x^2y^2 + 2xy^3$.
Ответ: $-\frac{5}{2}x^3y - 5x^2y^2 + 2xy^3$

8) Умножим одночлен $(-2mn)$ на каждый член многочлена $(-\frac{1}{2}m^2 - \frac{3}{4}mn + n^2)$:
$(-\frac{1}{2}m^2 - \frac{3}{4}mn + n^2) \cdot (-2mn) = (-2mn) \cdot (-\frac{1}{2}m^2) + (-2mn) \cdot (-\frac{3}{4}mn) + (-2mn) \cdot (n^2) = m^3n + \frac{6}{4}m^2n^2 - 2mn^3 = m^3n + \frac{3}{2}m^2n^2 - 2mn^3$.
Ответ: $m^3n + \frac{3}{2}m^2n^2 - 2mn^3$