Страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.40. Докажите, что значение выражения:

1) $(a-b)+(b-c)+(c-a)$ равно 0;

2) $(x^2-7xy)-(5-4xy)+(3xy-x^2)$ равно -5.

1)

Чтобы доказать, что значение выражения $(a - b) + (b - c) + (c - a)$ равно 0, необходимо его упростить. Для начала раскроем скобки. Поскольку перед всеми скобками стоит знак плюс (или знак отсутствует, что эквивалентно плюсу), знаки слагаемых внутри скобок не меняются:

$(a - b) + (b - c) + (c - a) = a - b + b - c + c - a$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$(a - a) + (-b + b) + (-c + c)$

Выполним действия в каждой группе:

$0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, мы доказали, что значение выражения не зависит от значений переменных a, b и c и всегда равно 0.

Ответ: что и требовалось доказать.

2)

Чтобы доказать, что значение выражения $(x^2 - 7xy) - (5 - 4xy) + (3xy - x^2)$ равно -5, раскроем скобки и упростим его. При раскрытии скобок следует обратить внимание, что перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому все знаки слагаемых внутри неё изменятся на противоположные:

$(x^2 - 7xy) - (5 - 4xy) + (3xy - x^2) = x^2 - 7xy - 5 + 4xy + 3xy - x^2$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-7xy + 4xy + 3xy) - 5$

Выполним действия в каждой группе:

$0 + (-7 + 4 + 3)xy - 5 = 0 + 0 \cdot xy - 5 = 0 + 0 - 5 = -5$

Таким образом, мы доказали, что значение выражения не зависит от значений переменных x и y и всегда равно -5.

Ответ: что и требовалось доказать.

2.41. Решите уравнение:

1) $(3,2x - 1,8) - (5,2x + 3,4) = -5,8;$

2) $1-(0,5y - 15,8)=12,8 - 0,7y;$

3) $3,8 - 1,5x + (4,5x - 0,8) = 2,4x + 3;$

4) $3,5y + 0,8 = 5,5y - (1,2y + 0,8) - 2,4.$

1) $(3,2x - 1,8) - (5,2x + 3,4) = -5,8$

Сначала раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$3,2x - 1,8 - 5,2x - 3,4 = -5,8$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:

$(3,2x - 5,2x) + (-1,8 - 3,4) = -5,8$

$-2x - 5,2 = -5,8$

Перенесем число $-5,2$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$-2x = -5,8 + 5,2$

$-2x = -0,6$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-2$:

$x = \frac{-0,6}{-2}$

$x = 0,3$

Ответ: $x = 0,3$

2) $1 - (0,5y - 15,8) = 12,8 - 0,7y$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Знак минус перед скобкой меняет знаки слагаемых внутри нее:

$1 - 0,5y + 15,8 = 12,8 - 0,7y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$16,8 - 0,5y = 12,8 - 0,7y$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки:

$-0,5y + 0,7y = 12,8 - 16,8$

$0,2y = -4$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $0,2$:

$y = \frac{-4}{0,2}$

$y = -20$

Ответ: $y = -20$

3) $3,8 - 1,5x + (4,5x - 0,8) = 2,4x + 3$

Раскроем скобки в левой части. Так как перед скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри не меняются:

$3,8 - 1,5x + 4,5x - 0,8 = 2,4x + 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(-1,5x + 4,5x) + (3,8 - 0,8) = 2,4x + 3$

$3x + 3 = 2,4x + 3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$3x - 2,4x = 3 - 3$

$0,6x = 0$

Разделим обе части на $0,6$:

$x = \frac{0}{0,6}$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$

4) $3,5y + 0,8 = 5,5y - (1,2y + 0,8) - 2,4$

Раскроем скобки в правой части уравнения, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$3,5y + 0,8 = 5,5y - 1,2y - 0,8 - 2,4$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$3,5y + 0,8 = (5,5y - 1,2y) + (-0,8 - 2,4)$

$3,5y + 0,8 = 4,3y - 3,2$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$0,8 + 3,2 = 4,3y - 3,5y$

$4 = 0,8y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $0,8$:

$y = \frac{4}{0,8}$

$y = 5$

Ответ: $y = 5$

2.42. Решите уравнение относительно переменной x:

1) $(5x - 3a) - (2x + 5a) = 4a;$

2) $(x + 5m) - (3m - 2x) = 17m;$

3) $4x - (3p - x) + (8x - 5p) = 5p;$

4) $(x + b) + (x + 2b) - (x - 3b) = 8b;$

5) $x^2 - (x + c) - (x^2 - 2x - 3c) = 0;$

6) $(6x - 4n) - (2x^2 + x) + (2x^2 - n) = 0.$

1)

Дано уравнение: $(5x - 3a) - (2x + 5a) = 4a$.

Сначала раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:

$5x - 3a - 2x - 5a = 4a$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Отдельно сгруппируем члены, содержащие $x$, и члены, содержащие $a$:

$(5x - 2x) + (-3a - 5a) = 4a$

$3x - 8a = 4a$

Перенесем слагаемое $-8a$ из левой части в правую с противоположным знаком:

$3x = 4a + 8a$

$3x = 12a$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{12a}{3}$

$x = 4a$

Ответ: $x = 4a$.

2)

Дано уравнение: $(x + 5m) - (3m - 2x) = 17m$.

Раскроем скобки. Знаки во второй скобке меняются на противоположные:

$x + 5m - 3m + 2x = 17m$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x + 2x) + (5m - 3m) = 17m$

$3x + 2m = 17m$

Перенесем слагаемое $2m$ в правую часть уравнения:

$3x = 17m - 2m$

$3x = 15m$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{15m}{3}$

$x = 5m$

Ответ: $x = 5m$.

3)

Дано уравнение: $4x - (3p - x) + (8x - 5p) = 5p$.

Раскроем скобки:

$4x - 3p + x + 8x - 5p = 5p$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4x + x + 8x) + (-3p - 5p) = 5p$

$13x - 8p = 5p$

Перенесем слагаемое $-8p$ в правую часть уравнения:

$13x = 5p + 8p$

$13x = 13p$

Разделим обе части на 13:

$x = \frac{13p}{13}$

$x = p$

Ответ: $x = p$.

4)

Дано уравнение: $(x + b) + (x + 2b) - (x - 3b) = 8b$.

Раскроем все скобки:

$x + b + x + 2b - x + 3b = 8b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x + x - x) + (b + 2b + 3b) = 8b$

$x + 6b = 8b$

Перенесем слагаемое $6b$ в правую часть:

$x = 8b - 6b$

$x = 2b$

Ответ: $x = 2b$.

5)

Дано уравнение: $x^2 - (x + c) - (x^2 - 2x - 3c) = 0$.

Раскроем скобки, меняя знаки там, где перед скобкой стоит минус:

$x^2 - x - c - x^2 + 2x + 3c = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-x + 2x) + (-c + 3c) = 0$

Слагаемые $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются:

$x + 2c = 0$

Перенесем слагаемое $2c$ в правую часть:

$x = -2c$

Ответ: $x = -2c$.

6)

Дано уравнение: $(6x - 4n) - (2x^2 + x) + (2x^2 - n) = 0$.

Раскроем скобки:

$6x - 4n - 2x^2 - x + 2x^2 - n = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-2x^2 + 2x^2) + (6x - x) + (-4n - n) = 0$

Слагаемые $-2x^2$ и $2x^2$ взаимно уничтожаются:

$5x - 5n = 0$

Перенесем слагаемое $-5n$ в правую часть:

$5x = 5n$

Разделим обе части на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{5n}{5}$

$x = n$

Ответ: $x = n$.

2.43. Докажите, что значение многочлена $(\frac{3}{4}x^2 - 1.4xy - 2.5y + 4) - (2y^2 - \frac{7}{5}xy + 0.75x^2)$ не зависит от переменной $x$.

Чтобы доказать, что значение многочлена не зависит от переменной $x$, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения все члены, содержащие переменную $x$, сократятся, то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение: $(\frac{3}{4}x^2 - 1,4xy - 2,5y + 4) - (2y^2 - \frac{7}{5}xy + 0,75x^2)$.

1. Первым шагом раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:

$\frac{3}{4}x^2 - 1,4xy - 2,5y + 4 - 2y^2 + \frac{7}{5}xy - 0,75x^2$

2. Для удобства приведения подобных слагаемых, преобразуем все коэффициенты при переменных в один вид — десятичные дроби:

$\frac{3}{4} = 0,75$

$\frac{7}{5} = 1,4$

3. Подставим полученные значения обратно в выражение:

$0,75x^2 - 1,4xy - 2,5y + 4 - 2y^2 + 1,4xy - 0,75x^2$

4. Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью):

Сгруппируем члены с $x^2$: $(0,75x^2 - 0,75x^2)$

Сгруппируем члены с $xy$: $(-1,4xy + 1,4xy)$

Остальные члены: $-2y^2 - 2,5y + 4$

5. Выполним сложение и вычитание в группах:

$(0,75x^2 - 0,75x^2) + (-1,4xy + 1,4xy) - 2y^2 - 2,5y + 4 = 0 + 0 - 2y^2 - 2,5y + 4 = -2y^2 - 2,5y + 4$

Полученное выражение $-2y^2 - 2,5y + 4$ не содержит переменную $x$. Это означает, что значение исходного многочлена не зависит от значения $x$.

Ответ: После упрощения исходного выражения все члены, содержащие переменную $x$, взаимно уничтожаются, и выражение принимает вид $-2y^2 - 2,5y + 4$. Это доказывает, что значение многочлена не зависит от переменной $x$.

2.44. Упростите выражение:

1) $(10a - 6b + 5c - 4d) - (9a - 2b - 4c + 2d);$

2) $(5a^2 - ax + x^2) + (3a^2 + 2ax - 3x^2) - (4ax + 2x^2 + a^2);$

3) $(2m^4 + 5m^3n - 3m^2n^2 - mn^3) + (3m^4 - 8m^3n^2 - 6mn^3).$

1) Чтобы упростить выражение, сначала раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные. Затем сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(10a - 6b + 5c - 4d) - (9a - 2b - 4c + 2d) = 10a - 6b + 5c - 4d - 9a + 2b + 4c - 2d$

Сгруппируем подобные члены:

$(10a - 9a) + (-6b + 2b) + (5c + 4c) + (-4d - 2d)$

Выполним вычисления:

$a - 4b + 9c - 6d$

Ответ: $a - 4b + 9c - 6d$

2) Раскроем скобки. Перед первой и второй скобками знаков нет (или стоит плюс), поэтому знаки внутри них не меняются. Перед третьей скобкой стоит знак минус, поэтому все знаки внутри нее меняются на противоположные. После этого приведем подобные слагаемые.

$(5a^2 - ax + x^2) + (3a^2 + 2ax - 3x^2) - (4ax + 2x^2 + a^2) = 5a^2 - ax + x^2 + 3a^2 + 2ax - 3x^2 - 4ax - 2x^2 - a^2$

Сгруппируем подобные члены по переменным ($a^2$, $ax$ и $x^2$):

$(5a^2 + 3a^2 - a^2) + (-ax + 2ax - 4ax) + (x^2 - 3x^2 - 2x^2)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$7a^2 - 3ax - 4x^2$

Ответ: $7a^2 - 3ax - 4x^2$

3) В данном случае между скобками стоит знак плюс, поэтому при раскрытии скобок знаки слагаемых не меняются. Далее находим и приводим подобные члены.

$(2m^4 + 5m^3n - 3m^2n^2 - mn^3) + (3m^4 - 8m^3n^2 - 6mn^3) = 2m^4 + 5m^3n - 3m^2n^2 - mn^3 + 3m^4 - 8m^3n^2 - 6mn^3$

Сгруппируем подобные члены:

$(2m^4 + 3m^4) + 5m^3n - 3m^2n^2 - 8m^3n^2 + (-mn^3 - 6mn^3)$

Обратите внимание, что слагаемые $5m^3n$, $-3m^2n^2$ и $-8m^3n^2$ не являются подобными друг другу и не имеют пар.

Приведем подобные слагаемые:

$5m^4 + 5m^3n - 3m^2n^2 - 8m^3n^2 - 7mn^3$

Для удобства можно упорядочить члены по убыванию степени переменной $m$:

$5m^4 + 5m^3n - 8m^3n^2 - 3m^2n^2 - 7mn^3$

Ответ: $5m^4 + 5m^3n - 8m^3n^2 - 3m^2n^2 - 7mn^3$

2.45. Составьте сумму многочленов и приведите подобные члены:

1) $5x^4+3x^3y-2x^2y^2-4xy^3$, $3x^4-8x^3y+9x^2y^2+xy^3$ и $-6x^4+x^3y+5x^2y^2-9xy^3$;

2) $-\frac{5}{6}a^2+4\frac{2}{3}ab+\frac{3}{4}b^2$, $-\frac{5}{12}a^2-\frac{4}{3}ab-\frac{7}{4}b^2$ и $2\frac{1}{2}a^2+\frac{5}{4}ab-b^2$;

3) $5\frac{1}{4}m^3+2\frac{1}{6}m^2n+3\frac{1}{2}mn^2-8\frac{2}{3}n^3$ и $13m^2n-1\frac{1}{4}mn^2-3\frac{5}{6}m^3+n^3$.

1) Чтобы составить сумму многочленов, сложим их, раскроем скобки и запишем все члены подряд:

$(5x^4+3x^3y-2x^2y^2-4xy^3) + (3x^4-8x^3y+9x^2y^2+xy^3) + (-6x^4+x^3y+5x^2y^2-9xy^3) = 5x^4+3x^3y-2x^2y^2-4xy^3 + 3x^4-8x^3y+9x^2y^2+xy^3 - 6x^4+x^3y+5x^2y^2-9xy^3$.

Далее сгруппируем подобные члены (одночлены с одинаковой буквенной частью):

$(5x^4+3x^4-6x^4) + (3x^3y-8x^3y+x^3y) + (-2x^2y^2+9x^2y^2+5x^2y^2) + (-4xy^3+xy^3-9xy^3)$.

Теперь сложим коэффициенты в каждой группе:

$(5+3-6)x^4 + (3-8+1)x^3y + (-2+9+5)x^2y^2 + (-4+1-9)xy^3 = 2x^4 - 4x^3y + 12x^2y^2 - 12xy^3$.

Ответ: $2x^4 - 4x^3y + 12x^2y^2 - 12xy^3$.

2) Составим сумму данных многочленов:

$(-\frac{5}{6}a^2 + 4\frac{2}{3}ab + \frac{3}{4}b^2) + (\frac{5}{12}a^2 - \frac{4}{3}ab - \frac{7}{4}b^2) + (2\frac{1}{2}a^2 + \frac{5}{4}ab - b^2)$.

Сгруппируем подобные члены. Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби: $4\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$, $2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.

$(-\frac{5}{6}a^2 + \frac{5}{12}a^2 + \frac{5}{2}a^2) + (\frac{14}{3}ab - \frac{4}{3}ab + \frac{5}{4}ab) + (\frac{3}{4}b^2 - \frac{7}{4}b^2 - b^2)$.

Приведем коэффициенты в каждой группе к общему знаменателю и выполним действия:

Для $a^2$: $(-\frac{5 \cdot 2}{12} + \frac{5}{12} + \frac{5 \cdot 6}{12})a^2 = (\frac{-10+5+30}{12})a^2 = \frac{25}{12}a^2 = 2\frac{1}{12}a^2$.

Для $ab$: $(\frac{14 \cdot 4}{12} - \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{5 \cdot 3}{12})ab = (\frac{56-16+15}{12})ab = \frac{55}{12}ab = 4\frac{7}{12}ab$.

Для $b^2$: $(\frac{3}{4} - \frac{7}{4} - \frac{4}{4})b^2 = (\frac{3-7-4}{4})b^2 = \frac{-8}{4}b^2 = -2b^2$.

Соберем полученные члены в итоговый многочлен:

Ответ: $2\frac{1}{12}a^2 + 4\frac{7}{12}ab - 2b^2$.

3) Составим сумму двух многочленов:

$(5\frac{1}{4}m^3 + 2\frac{1}{6}m^2n + 3\frac{1}{2}mn^2 - 8\frac{2}{3}n^3) + (13m^2n - 1\frac{1}{4}mn^2 - 3\frac{5}{6}m^3 + n^3)$.

Для удобства вычислений переведем все смешанные числа в неправильные дроби:

$5\frac{1}{4} = \frac{21}{4}$; $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$; $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$; $8\frac{2}{3} = \frac{26}{3}$; $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$; $3\frac{5}{6} = \frac{23}{6}$.

Сгруппируем подобные члены:

$(\frac{21}{4}m^3 - \frac{23}{6}m^3) + (\frac{13}{6}m^2n + 13m^2n) + (\frac{7}{2}mn^2 - \frac{5}{4}mn^2) + (-\frac{26}{3}n^3 + n^3)$.

Приведем коэффициенты в каждой группе к общему знаменателю и выполним действия:

Для $m^3$: $(\frac{21 \cdot 3}{12} - \frac{23 \cdot 2}{12})m^3 = (\frac{63-46}{12})m^3 = \frac{17}{12}m^3 = 1\frac{5}{12}m^3$.

Для $m^2n$: $(\frac{13}{6} + \frac{13 \cdot 6}{6})m^2n = (\frac{13+78}{6})m^2n = \frac{91}{6}m^2n = 15\frac{1}{6}m^2n$.

Для $mn^2$: $(\frac{7 \cdot 2}{4} - \frac{5}{4})mn^2 = (\frac{14-5}{4})mn^2 = \frac{9}{4}mn^2 = 2\frac{1}{4}mn^2$.

Для $n^3$: $(-\frac{26}{3} + \frac{3}{3})n^3 = (\frac{-26+3}{3})n^3 = -\frac{23}{3}n^3 = -7\frac{2}{3}n^3$.

Запишем итоговый многочлен, используя смешанные числа:

Ответ: $1\frac{5}{12}m^3 + 15\frac{1}{6}m^2n + 2\frac{1}{4}mn^2 - 7\frac{2}{3}n^3$.