Страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.14. Представьте одночлен $-12a^4y^3$ двумя способами в виде произведения:

1) двух одночленов стандартного вида;

2) трех одночленов стандартного вида.

Для представления одночлена $-12a^4y^3$ в виде произведения других одночленов, необходимо разбить его компоненты (числовой коэффициент $-12$, переменную $a^4$ и переменную $y^3$) на соответствующее количество множителей. Каждый из этих множителей должен быть одночленом стандартного вида. Существует бесконечное множество таких разложений, приведем по два примера для каждого из требуемых случаев.

1) двух одночленов стандартного вида

Необходимо найти два одночлена, произведение которых равно $-12a^4y^3$.

Первый способ:

Разобьем коэффициент $-12$ на множители $-2$ и $6$. Переменную $a^4$ представим как произведение $a^2 \cdot a^2$. Переменную $y^3$ представим как $y \cdot y^2$.

Тогда первый одночлен будет $-2a^2y$, а второй $6a^2y^2$.

Проверка: $(-2a^2y) \cdot (6a^2y^2) = (-2 \cdot 6) \cdot (a^2 \cdot a^2) \cdot (y^1 \cdot y^2) = -12a^{2+2}y^{1+2} = -12a^4y^3$.

Ответ: $-12a^4y^3 = (-2a^2y) \cdot (6a^2y^2)$.

Второй способ:

Разобьем коэффициент $-12$ на множители $3$ и $-4$. Переменную $a^4$ целиком отнесем к первому множителю ($a^4 = a^4 \cdot a^0$), а $y^3$ — ко второму ($y^3 = y^0 \cdot y^3$).

Тогда первый одночлен будет $3a^4$, а второй $-4y^3$.

Проверка: $(3a^4) \cdot (-4y^3) = (3 \cdot (-4)) \cdot a^4 \cdot y^3 = -12a^4y^3$.

Ответ: $-12a^4y^3 = (3a^4) \cdot (-4y^3)$.

2) трех одночленов стандартного вида

Необходимо найти три одночлена, произведение которых равно $-12a^4y^3$.

Первый способ:

Разобьем коэффициент $-12$ на множители $-2$, $2$ и $3$. Переменную $a^4$ представим как $a \cdot a^2 \cdot a$. Переменную $y^3$ представим как $y \cdot 1 \cdot y^2$ (где $1=y^0$).

Тогда одночлены будут: $(-2ay)$, $(2a^2)$ и $(3ay^2)$.

Проверка: $(-2ay) \cdot (2a^2) \cdot (3ay^2) = (-2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (a \cdot a^2 \cdot a) \cdot (y \cdot y^2) = -12a^{1+2+1}y^{1+2} = -12a^4y^3$.

Ответ: $-12a^4y^3 = (-2ay) \cdot (2a^2) \cdot (3ay^2)$.

Второй способ:

Разобьем коэффициент $-12$ на множители $4$, $3$ и $-1$. Переменную $a^4$ представим как $a^2 \cdot 1 \cdot a^2$ (где $1=a^0$). Переменную $y^3$ представим как $y \cdot y \cdot y$.

Тогда одночлены будут: $(4a^2y)$, $(3y)$ и $(-a^2y)$.

Проверка: $(4a^2y) \cdot (3y) \cdot (-a^2y) = (4 \cdot 3 \cdot (-1)) \cdot (a^2 \cdot a^2) \cdot (y \cdot y \cdot y) = -12a^{2+2}y^{1+1+1} = -12a^4y^3$.

Ответ: $-12a^4y^3 = (4a^2y) \cdot (3y) \cdot (-a^2y)$.

2.15. Какой одночлен надо возвести в квадрат, чтобы получить одночлен:

1) $a^6b^{12}$;

2) $100p^8q^6$?

Чтобы найти одночлен, который при возведении в квадрат даёт заданный одночлен, необходимо выполнить обратную операцию — извлечь квадратный корень из заданного одночлена. При извлечении квадратного корня из одночлена нужно извлечь квадратный корень из его числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 2. Важно помнить, что квадрат как положительного, так и отрицательного одночлена будет одинаковым, поэтому существует два возможных ответа для каждого случая.

1) $a^6b^{12}$

Пусть искомый одночлен равен $X$. Тогда по условию $X^2 = a^6b^{12}$. Чтобы найти $X$, извлечём квадратный корень: $X = \sqrt{a^6b^{12}}$ Коэффициент равен 1, $\sqrt{1} = 1$. Показатель степени переменной $a$ равен 6, делим его на 2: $6 / 2 = 3$. Показатель степени переменной $b$ равен 12, делим его на 2: $12 / 2 = 6$. Таким образом, один из возможных одночленов — это $a^3b^6$. Так как $(-y)^2 = y^2$, то одночлен $-a^3b^6$ также является решением. Проверка: $(a^3b^6)^2 = (a^3)^2(b^6)^2 = a^{3 \cdot 2}b^{6 \cdot 2} = a^6b^{12}$. Проверка: $(-a^3b^6)^2 = (-1)^2(a^3b^6)^2 = a^6b^{12}$.

Ответ: $a^3b^6$ или $-a^3b^6$.

2) $100p^8q^6$

Пусть искомый одночлен равен $Y$. Тогда по условию $Y^2 = 100p^8q^6$. Чтобы найти $Y$, извлечём квадратный корень: $Y = \sqrt{100p^8q^6}$ Извлекаем корень из коэффициента: $\sqrt{100} = 10$. Показатель степени переменной $p$ равен 8, делим его на 2: $8 / 2 = 4$. Показатель степени переменной $q$ равен 6, делим его на 2: $6 / 2 = 3$. Следовательно, один из возможных одночленов — это $10p^4q^3$. Другим решением будет $-10p^4q^3$. Проверка: $(10p^4q^3)^2 = 10^2(p^4)^2(q^3)^2 = 100p^{4 \cdot 2}q^{3 \cdot 2} = 100p^8q^6$. Проверка: $(-10p^4q^3)^2 = (-10)^2(10p^4q^3)^2 = 100p^8q^6$.

Ответ: $10p^4q^3$ или $-10p^4q^3$.

2.16. Какой одночлен надо возвести в куб, чтобы получить одночлен:

1) $x^9y^6$;

2) $0,008a^{12}b^3$?

1) Чтобы найти одночлен, который при возведении в куб даёт $x^9y^6$, необходимо найти кубический корень из этого выражения. Эта операция является обратной возведению в степень. Пусть искомый одночлен — это $A$. Тогда по условию $A^3 = x^9y^6$. Чтобы найти $A$, извлечём кубический корень из правой части: $A = \sqrt[3]{x^9y^6}$.
Используя свойство корня из произведения $(\sqrt[n]{uv} = \sqrt[n]{u}\sqrt[n]{v})$, мы можем разделить корень: $A = \sqrt[3]{x^9} \cdot \sqrt[3]{y^6}$.
Далее, используя свойство извлечения корня из степени $(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n})$, вычисляем каждый множитель: $\sqrt[3]{x^9} = x^{9/3} = x^3$
$\sqrt[3]{y^6} = y^{6/3} = y^2$
Таким образом, искомый одночлен равен $x^3y^2$.
Проверка: $(x^3y^2)^3 = (x^3)^3(y^2)^3 = x^{3 \cdot 3}y^{2 \cdot 3} = x^9y^6$.
Ответ: $x^3y^2$

2) Аналогично, чтобы найти одночлен, который при возведении в куб даёт $0.008a^{12}b^3$, необходимо извлечь кубический корень из этого выражения. Пусть искомый одночлен — это $B$. Тогда $B^3 = 0.008a^{12}b^3$. Найдём $B$: $B = \sqrt[3]{0.008a^{12}b^3}$.
Разделим корень на множители: $B = \sqrt[3]{0.008} \cdot \sqrt[3]{a^{12}} \cdot \sqrt[3]{b^3}$.
Вычислим каждый множитель по отдельности: $\sqrt[3]{0.008} = 0.2$, так как $0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 = 0.008$.
$\sqrt[3]{a^{12}} = a^{12/3} = a^4$.
$\sqrt[3]{b^3} = b^{3/3} = b^1 = b$.
Перемножив полученные результаты, находим искомый одночлен: $B = 0.2a^4b$.
Проверка: $(0.2a^4b)^3 = (0.2)^3(a^4)^3(b)^3 = 0.008a^{4 \cdot 3}b^3 = 0.008a^{12}b^3$.
Ответ: $0.2a^4b$

2.17. Упростите выражение:

1) $ (0,2x^2y)^3 \cdot 1000x^4y^7; $

2) $ (\frac{1}{4}a^2b)^3 \cdot (-32a^2b); $

3) $ (-\frac{2}{3}mn^4)^2 \cdot (-27m^5n); $

4) $ -0,6c^7d^7 \cdot (0,5cd^2)^2. $

1) Для упрощения выражения $(0,2x^2y)^3 \cdot 1000x^4y^7$ сначала возведем первый одночлен в третью степень. Для этого используем правило возведения в степень произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(0,2x^2y)^3 = (0,2)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 = 0,008 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot y^3 = 0,008x^6y^3$.
Теперь умножим полученный результат на второй одночлен:
$0,008x^6y^3 \cdot 1000x^4y^7$.
Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями и перемножим их, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(0,008 \cdot 1000) \cdot (x^6 \cdot x^4) \cdot (y^3 \cdot y^7) = 8 \cdot x^{6+4} \cdot y^{3+7} = 8x^{10}y^{10}$.
Ответ: $8x^{10}y^{10}$.

2) Упростим выражение $(\frac{1}{4}a^2b)^3 \cdot (-32a^2b)$. Сначала возведем в куб первый множитель:
$(\frac{1}{4}a^2b)^3 = (\frac{1}{4})^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = \frac{1}{64}a^{2 \cdot 3}b^3 = \frac{1}{64}a^6b^3$.
Далее умножим полученный одночлен на второй:
$\frac{1}{64}a^6b^3 \cdot (-32a^2b)$.
Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(\frac{1}{64} \cdot (-32)) \cdot (a^6 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b^1) = -\frac{32}{64} \cdot a^{6+2} \cdot b^{3+1} = -\frac{1}{2}a^8b^4$.
Ответ: $-\frac{1}{2}a^8b^4$.

3) Упростим выражение $(-\frac{2}{3}mn^4)^2 \cdot (-27m^5n)$. Первым шагом возведем в квадрат первый множитель. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным:
$(-\frac{2}{3}mn^4)^2 = (-\frac{2}{3})^2 \cdot m^2 \cdot (n^4)^2 = \frac{4}{9}m^2n^{4 \cdot 2} = \frac{4}{9}m^2n^8$.
Теперь умножим результат на второй множитель:
$\frac{4}{9}m^2n^8 \cdot (-27m^5n)$.
Выполним умножение коэффициентов и степеней:
$(\frac{4}{9} \cdot (-27)) \cdot (m^2 \cdot m^5) \cdot (n^8 \cdot n^1) = -(\frac{4 \cdot 27}{9}) \cdot m^{2+5} \cdot n^{8+1} = -(4 \cdot 3) \cdot m^7n^9 = -12m^7n^9$.
Ответ: $-12m^7n^9$.

4) Упростим выражение $-0,6c^7d^7 \cdot (0,5cd^2)^2$. Сначала возведем в квадрат второй множитель:
$(0,5cd^2)^2 = (0,5)^2 \cdot c^2 \cdot (d^2)^2 = 0,25c^2d^{2 \cdot 2} = 0,25c^2d^4$.
Теперь умножим первый одночлен на полученный результат:
$-0,6c^7d^7 \cdot 0,25c^2d^4$.
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные:
$(-0,6 \cdot 0,25) \cdot (c^7 \cdot c^2) \cdot (d^7 \cdot d^4) = -0,15 \cdot c^{7+2} \cdot d^{7+4} = -0,15c^9d^{11}$.
Ответ: $-0,15c^9d^{11}$.

2.18. Представьте одночлен в стандартном виде:

1) $ (-8a^m \cdot x^{n+1}y^n) \cdot (-\frac{1}{2}a^{2-m}x^{n-1}y^2); $

2) $ (3x^n y^m)^2 \cdot (-2x^n y^m)^3; $

3) $ 0,64a^2b^3c \cdot 1\frac{9}{16}a^2b^7c^3 \cdot (-0,25a^2bc^4); $

4) $ \frac{(2ab)^3 \cdot (a^4b^2c)^2}{4a^2b^3c}. $

1) $(-8a^m \cdot x^{n+1} y^n) \cdot (-\frac{1}{2}a^{2-m}x^{n-1}y^2)$

Чтобы представить одночлен в стандартном виде, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. Для этого сгруппируем множители:

$(-8 \cdot (-\frac{1}{2})) \cdot (a^m \cdot a^{2-m}) \cdot (x^{n+1} \cdot x^{n-1}) \cdot (y^n \cdot y^2)$

1. Умножим числовые коэффициенты:
$(-8) \cdot (-\frac{1}{2}) = 4$

2. Умножим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$:
$a^m \cdot a^{2-m} = a^{m + (2-m)} = a^{m+2-m} = a^2$
$x^{n+1} \cdot x^{n-1} = x^{(n+1) + (n-1)} = x^{n+1+n-1} = x^{2n}$
$y^n \cdot y^2 = y^{n+2}$

3. Запишем результат, объединив полученные части:
$4a^2x^{2n}y^{n+2}$

Ответ: $4a^2x^{2n}y^{n+2}$

2) $(3x^n y^m)^2 \cdot (-2x^n y^m)^3$

Сначала возведем каждый одночлен в соответствующую степень, используя правила $(ab)^k = a^k b^k$ и $(a^p)^k = a^{pk}$:

$(3x^n y^m)^2 = 3^2 \cdot (x^n)^2 \cdot (y^m)^2 = 9x^{2n}y^{2m}$

$(-2x^n y^m)^3 = (-2)^3 \cdot (x^n)^3 \cdot (y^m)^3 = -8x^{3n}y^{3m}$

Теперь перемножим полученные одночлены:

$(9x^{2n}y^{2m}) \cdot (-8x^{3n}y^{3m}) = (9 \cdot (-8)) \cdot (x^{2n} \cdot x^{3n}) \cdot (y^{2m} \cdot y^{3m})$

1. Умножим числовые коэффициенты:
$9 \cdot (-8) = -72$

2. Умножим степени с одинаковыми основаниями:
$x^{2n} \cdot x^{3n} = x^{2n+3n} = x^{5n}$
$y^{2m} \cdot y^{3m} = y^{2m+3m} = y^{5m}$

3. Запишем итоговый одночлен:
$-72x^{5n}y^{5m}$

Ответ: $-72x^{5n}y^{5m}$

3) $0,64a^2b^3c \cdot 1\frac{9}{16}a^2b^7c^3 \cdot (-0,25a^2bc^4)$

Для приведения к стандартному виду сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

1. Умножим числовые коэффициенты. Для удобства преобразуем десятичные дроби и смешанное число в обыкновенные дроби:
$0,64 = \frac{64}{100} = \frac{16}{25}$
$1\frac{9}{16} = \frac{16 \cdot 1 + 9}{16} = \frac{25}{16}$
$-0,25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4}$

Теперь перемножим их:
$\frac{16}{25} \cdot \frac{25}{16} \cdot (-\frac{1}{4}) = 1 \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4} = -0,25$

2. Умножим степени с одинаковыми основаниями:
$a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 = a^{2+2+2} = a^6$
$b^3 \cdot b^7 \cdot b = b^{3+7+1} = b^{11}$
$c \cdot c^3 \cdot c^4 = c^{1+3+4} = c^8$

3. Объединим результаты:
$-0,25a^6b^{11}c^8$

Ответ: $-0,25a^6b^{11}c^8$

4) $\frac{(2ab)^3 \cdot (a^4b^2c)^2}{4a^2b^3c}$

Сначала упростим выражение в числителе. Возведем каждый множитель в степень:

$(2ab)^3 = 2^3 a^3 b^3 = 8a^3b^3$

$(a^4b^2c)^2 = (a^4)^2 (b^2)^2 c^2 = a^{8} b^{4} c^2$

Теперь перемножим полученные выражения в числителе:
$(8a^3b^3) \cdot (a^8b^4c^2) = 8 a^{3+8} b^{3+4} c^2 = 8a^{11}b^7c^2$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{8a^{11}b^7c^2}{4a^2b^3c}$

Теперь разделим числитель на знаменатель. Для этого разделим коэффициенты и вычтем показатели степеней с одинаковыми основаниями (используя правило $\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$):

$\frac{8}{4} \cdot \frac{a^{11}}{a^2} \cdot \frac{b^7}{b^3} \cdot \frac{c^2}{c} = 2 \cdot a^{11-2} \cdot b^{7-3} \cdot c^{2-1} = 2a^9b^4c$

Ответ: $2a^9b^4c$

2.19. Упростите выражение:

1) $ \frac{3^5 + 3^9}{3^{-5} + 3^{-9}}; $

2) $ \frac{2^5 + 2^6 + 2^7}{2^{-5} + 2^{-6} + 2^{-7}}. $

1) Для упрощения выражения $ \frac{3^5 + 3^9}{3^{-5} + 3^{-9}} $ вынесем за скобки общий множитель в числителе и знаменателе. В числителе вынесем $3^5$, а в знаменателе вынесем степень с наименьшим показателем, то есть $3^{-9}$.
Преобразуем числитель: $3^5 + 3^9 = 3^5(1 + 3^{9-5}) = 3^5(1 + 3^4)$.
Преобразуем знаменатель: $3^{-5} + 3^{-9} = 3^{-9}(3^{-5-(-9)} + 3^{-9-(-9)}) = 3^{-9}(3^4 + 3^0) = 3^{-9}(3^4 + 1)$.
Теперь подставим преобразованные части в исходное выражение:
$ \frac{3^5(1 + 3^4)}{3^{-9}(1 + 3^4)} $.
Сократим общий множитель $(1 + 3^4)$:
$ \frac{3^5}{3^{-9}} $.
По свойству деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ получаем:
$ 3^{5 - (-9)} = 3^{5+9} = 3^{14} $.
Ответ: $3^{14}$

2) Для упрощения выражения $ \frac{2^5 + 2^6 + 2^7}{2^{-5} + 2^{-6} + 2^{-7}} $ поступим аналогично предыдущему примеру: вынесем общие множители за скобки.
В числителе вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $2^5$:
$ 2^5 + 2^6 + 2^7 = 2^5(1 + 2^{6-5} + 2^{7-5}) = 2^5(1 + 2^1 + 2^2) $.
В знаменателе вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $2^{-7}$:
$ 2^{-5} + 2^{-6} + 2^{-7} = 2^{-7}(2^{-5-(-7)} + 2^{-6-(-7)} + 2^{-7-(-7)}) = 2^{-7}(2^2 + 2^1 + 2^0) $.
Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:
$ \frac{2^5(1 + 2^1 + 2^2)}{2^{-7}(2^2 + 2^1 + 1)} $.
Выражения в скобках в числителе и знаменателе равны ($1 + 2 + 4 = 7$), поэтому мы можем их сократить:
$ \frac{2^5}{2^{-7}} $.
Используя свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $, получаем:
$ 2^{5 - (-7)} = 2^{5+7} = 2^{12} $.
Ответ: $2^{12}$

2.20. Составьте все возможные одночлены стандартного вида с коэффициентом 2, содержащие такие переменные $x$ и $y$, что степень каждого одночлена равна:

1) 2;

2) 3;

3) 4.

1) По условию задачи, нам нужно найти все одночлены стандартного вида с коэффициентом 2, которые содержат переменные $x$ и $y$, и имеют степень 2. Общий вид такого одночлена: $2x^a y^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. В нашем случае, степень равна $a+b$. Нам дано, что степень равна 2, следовательно, $a+b=2$. Переберем все возможные пары неотрицательных целых чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 2:
- Если $a=2$, то $b=0$. Одночлен имеет вид $2x^2y^0$, что в стандартном виде записывается как $2x^2$.
- Если $a=1$, то $b=1$. Одночлен имеет вид $2x^1y^1$, что в стандартном виде записывается как $2xy$.
- Если $a=0$, то $b=2$. Одночлен имеет вид $2x^0y^2$, что в стандартном виде записывается как $2y^2$.
Таким образом, мы получили три возможных одночлена.

Ответ: $2x^2$, $2xy$, $2y^2$.

2) Теперь найдем все одночлены с теми же условиями, но со степенью 3. Общий вид одночлена остается $2x^a y^b$, но теперь $a+b=3$. Переберем все возможные пары неотрицательных целых чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 3:
- Если $a=3$, то $b=0$. Одночлен: $2x^3$.
- Если $a=2$, то $b=1$. Одночлен: $2x^2y$.
- Если $a=1$, то $b=2$. Одночлен: $2xy^2$.
- Если $a=0$, то $b=3$. Одночлен: $2y^3$.
Таким образом, мы получили четыре возможных одночлена.

Ответ: $2x^3$, $2x^2y$, $2xy^2$, $2y^3$.

3) Наконец, найдем все одночлены с теми же условиями, но со степенью 4. Общий вид одночлена $2x^a y^b$, где $a+b=4$. Переберем все возможные пары неотрицательных целых чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 4:
- Если $a=4$, то $b=0$. Одночлен: $2x^4$.
- Если $a=3$, то $b=1$. Одночлен: $2x^3y$.
- Если $a=2$, то $b=2$. Одночлен: $2x^2y^2$.
- Если $a=1$, то $b=3$. Одночлен: $2xy^3$.
- Если $a=0$, то $b=4$. Одночлен: $2y^4$.
Таким образом, мы получили пять возможных одночленов.

Ответ: $2x^4$, $2x^3y$, $2x^2y^2$, $2xy^3$, $2y^4$.

2.21. Представьте одночлен в стандартном виде:

1) $\frac{(x^2y^3z^2)^4 \cdot (x^3y)^3}{(xy^2z^4)^2};$

2) $\frac{(3^n a^2 b^{n+1})^2 \cdot (ab)^n}{(3a^2b^n)^2}$, $n \in N$.

1) Чтобы представить данный одночлен в стандартном виде, необходимо последовательно выполнить все указанные действия со степенями. Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя (коэффициента) и натуральных степеней различных переменных.

Исходное выражение: $ \frac{(x^2y^3z^2)^4 \cdot (x^3y)^3}{(xy^2z^4)^2} $

Сначала возведем в степень каждый из множителей в числителе и знаменателе, используя правило возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{mn} $ и правило возведения произведения в степень $ (abc)^n = a^n b^n c^n $.

Упростим числитель:

$ (x^2y^3z^2)^4 = (x^2)^4(y^3)^4(z^2)^4 = x^{2 \cdot 4}y^{3 \cdot 4}z^{2 \cdot 4} = x^8y^{12}z^8 $

$ (x^3y)^3 = (x^3)^3y^3 = x^{3 \cdot 3}y^3 = x^9y^3 $

Теперь перемножим полученные выражения в числителе, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ (x^8y^{12}z^8) \cdot (x^9y^3) = x^{8+9} y^{12+3} z^8 = x^{17}y^{15}z^8 $

Упростим знаменатель:

$ (xy^2z^4)^2 = x^2(y^2)^2(z^4)^2 = x^2y^{2 \cdot 2}z^{4 \cdot 2} = x^2y^4z^8 $

Теперь разделим числитель на знаменатель, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{x^{17}y^{15}z^8}{x^2y^4z^8} = x^{17-2}y^{15-4}z^{8-8} = x^{15}y^{11}z^0 $

По определению, любое ненулевое число в степени 0 равно 1 ($ z^0 = 1 $), поэтому окончательный результат:

$ x^{15}y^{11} \cdot 1 = x^{15}y^{11} $

Ответ: $x^{15}y^{11}$.

2) Решим второе задание, применяя те же свойства степеней. Условие $ n \in \mathbb{N} $ означает, что $n$ является натуральным числом.

Исходное выражение: $ \frac{(3^n a^2 b^{n+1})^2 \cdot (ab)^n}{(3a^2b^n)^2} $

Упростим числитель:

$ (3^n a^2 b^{n+1})^2 = (3^n)^2(a^2)^2(b^{n+1})^2 = 3^{2n}a^4b^{2(n+1)} = 3^{2n}a^4b^{2n+2} $

$ (ab)^n = a^nb^n $

Перемножим выражения в числителе:

$ (3^{2n}a^4b^{2n+2}) \cdot (a^nb^n) = 3^{2n} a^{4+n} b^{(2n+2)+n} = 3^{2n}a^{n+4}b^{3n+2} $

Упростим знаменатель:

$ (3a^2b^n)^2 = 3^2(a^2)^2(b^n)^2 = 9a^4b^{2n} = 3^2a^4b^{2n} $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{3^{2n}a^{n+4}b^{3n+2}}{3^2a^4b^{2n}} = 3^{2n-2} a^{(n+4)-4} b^{(3n+2)-2n} = 3^{2n-2}a^nb^{n+2} $

Это выражение является одночленом, записанным в стандартном виде.

Ответ: $3^{2n-2}a^nb^{n+2}$.