Номер 2.16, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.16. Какой одночлен надо возвести в куб, чтобы получить одночлен:

1) $x^9y^6$;

2) $0,008a^{12}b^3$?

1) Чтобы найти одночлен, который при возведении в куб даёт $x^9y^6$, необходимо найти кубический корень из этого выражения. Эта операция является обратной возведению в степень. Пусть искомый одночлен — это $A$. Тогда по условию $A^3 = x^9y^6$. Чтобы найти $A$, извлечём кубический корень из правой части: $A = \sqrt[3]{x^9y^6}$.
Используя свойство корня из произведения $(\sqrt[n]{uv} = \sqrt[n]{u}\sqrt[n]{v})$, мы можем разделить корень: $A = \sqrt[3]{x^9} \cdot \sqrt[3]{y^6}$.
Далее, используя свойство извлечения корня из степени $(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n})$, вычисляем каждый множитель: $\sqrt[3]{x^9} = x^{9/3} = x^3$
$\sqrt[3]{y^6} = y^{6/3} = y^2$
Таким образом, искомый одночлен равен $x^3y^2$.
Проверка: $(x^3y^2)^3 = (x^3)^3(y^2)^3 = x^{3 \cdot 3}y^{2 \cdot 3} = x^9y^6$.
Ответ: $x^3y^2$

2) Аналогично, чтобы найти одночлен, который при возведении в куб даёт $0.008a^{12}b^3$, необходимо извлечь кубический корень из этого выражения. Пусть искомый одночлен — это $B$. Тогда $B^3 = 0.008a^{12}b^3$. Найдём $B$: $B = \sqrt[3]{0.008a^{12}b^3}$.
Разделим корень на множители: $B = \sqrt[3]{0.008} \cdot \sqrt[3]{a^{12}} \cdot \sqrt[3]{b^3}$.
Вычислим каждый множитель по отдельности: $\sqrt[3]{0.008} = 0.2$, так как $0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 = 0.008$.
$\sqrt[3]{a^{12}} = a^{12/3} = a^4$.
$\sqrt[3]{b^3} = b^{3/3} = b^1 = b$.
Перемножив полученные результаты, находим искомый одночлен: $B = 0.2a^4b$.
Проверка: $(0.2a^4b)^3 = (0.2)^3(a^4)^3(b)^3 = 0.008a^{4 \cdot 3}b^3 = 0.008a^{12}b^3$.
Ответ: $0.2a^4b$