Номер 2.17, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.17. Упростите выражение:

1) $ (0,2x^2y)^3 \cdot 1000x^4y^7; $

2) $ (\frac{1}{4}a^2b)^3 \cdot (-32a^2b); $

3) $ (-\frac{2}{3}mn^4)^2 \cdot (-27m^5n); $

4) $ -0,6c^7d^7 \cdot (0,5cd^2)^2. $

1) Для упрощения выражения $(0,2x^2y)^3 \cdot 1000x^4y^7$ сначала возведем первый одночлен в третью степень. Для этого используем правило возведения в степень произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(0,2x^2y)^3 = (0,2)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 = 0,008 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot y^3 = 0,008x^6y^3$.
Теперь умножим полученный результат на второй одночлен:
$0,008x^6y^3 \cdot 1000x^4y^7$.
Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями и перемножим их, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(0,008 \cdot 1000) \cdot (x^6 \cdot x^4) \cdot (y^3 \cdot y^7) = 8 \cdot x^{6+4} \cdot y^{3+7} = 8x^{10}y^{10}$.
Ответ: $8x^{10}y^{10}$.

2) Упростим выражение $(\frac{1}{4}a^2b)^3 \cdot (-32a^2b)$. Сначала возведем в куб первый множитель:
$(\frac{1}{4}a^2b)^3 = (\frac{1}{4})^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = \frac{1}{64}a^{2 \cdot 3}b^3 = \frac{1}{64}a^6b^3$.
Далее умножим полученный одночлен на второй:
$\frac{1}{64}a^6b^3 \cdot (-32a^2b)$.
Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(\frac{1}{64} \cdot (-32)) \cdot (a^6 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b^1) = -\frac{32}{64} \cdot a^{6+2} \cdot b^{3+1} = -\frac{1}{2}a^8b^4$.
Ответ: $-\frac{1}{2}a^8b^4$.

3) Упростим выражение $(-\frac{2}{3}mn^4)^2 \cdot (-27m^5n)$. Первым шагом возведем в квадрат первый множитель. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным:
$(-\frac{2}{3}mn^4)^2 = (-\frac{2}{3})^2 \cdot m^2 \cdot (n^4)^2 = \frac{4}{9}m^2n^{4 \cdot 2} = \frac{4}{9}m^2n^8$.
Теперь умножим результат на второй множитель:
$\frac{4}{9}m^2n^8 \cdot (-27m^5n)$.
Выполним умножение коэффициентов и степеней:
$(\frac{4}{9} \cdot (-27)) \cdot (m^2 \cdot m^5) \cdot (n^8 \cdot n^1) = -(\frac{4 \cdot 27}{9}) \cdot m^{2+5} \cdot n^{8+1} = -(4 \cdot 3) \cdot m^7n^9 = -12m^7n^9$.
Ответ: $-12m^7n^9$.

4) Упростим выражение $-0,6c^7d^7 \cdot (0,5cd^2)^2$. Сначала возведем в квадрат второй множитель:
$(0,5cd^2)^2 = (0,5)^2 \cdot c^2 \cdot (d^2)^2 = 0,25c^2d^{2 \cdot 2} = 0,25c^2d^4$.
Теперь умножим первый одночлен на полученный результат:
$-0,6c^7d^7 \cdot 0,25c^2d^4$.
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные:
$(-0,6 \cdot 0,25) \cdot (c^7 \cdot c^2) \cdot (d^7 \cdot d^4) = -0,15 \cdot c^{7+2} \cdot d^{7+4} = -0,15c^9d^{11}$.
Ответ: $-0,15c^9d^{11}$.