Номер 2.19, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.19. Упростите выражение:

1) $ \frac{3^5 + 3^9}{3^{-5} + 3^{-9}}; $

2) $ \frac{2^5 + 2^6 + 2^7}{2^{-5} + 2^{-6} + 2^{-7}}. $

1) Для упрощения выражения $ \frac{3^5 + 3^9}{3^{-5} + 3^{-9}} $ вынесем за скобки общий множитель в числителе и знаменателе. В числителе вынесем $3^5$, а в знаменателе вынесем степень с наименьшим показателем, то есть $3^{-9}$.
Преобразуем числитель: $3^5 + 3^9 = 3^5(1 + 3^{9-5}) = 3^5(1 + 3^4)$.
Преобразуем знаменатель: $3^{-5} + 3^{-9} = 3^{-9}(3^{-5-(-9)} + 3^{-9-(-9)}) = 3^{-9}(3^4 + 3^0) = 3^{-9}(3^4 + 1)$.
Теперь подставим преобразованные части в исходное выражение:
$ \frac{3^5(1 + 3^4)}{3^{-9}(1 + 3^4)} $.
Сократим общий множитель $(1 + 3^4)$:
$ \frac{3^5}{3^{-9}} $.
По свойству деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ получаем:
$ 3^{5 - (-9)} = 3^{5+9} = 3^{14} $.
Ответ: $3^{14}$

2) Для упрощения выражения $ \frac{2^5 + 2^6 + 2^7}{2^{-5} + 2^{-6} + 2^{-7}} $ поступим аналогично предыдущему примеру: вынесем общие множители за скобки.
В числителе вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $2^5$:
$ 2^5 + 2^6 + 2^7 = 2^5(1 + 2^{6-5} + 2^{7-5}) = 2^5(1 + 2^1 + 2^2) $.
В знаменателе вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $2^{-7}$:
$ 2^{-5} + 2^{-6} + 2^{-7} = 2^{-7}(2^{-5-(-7)} + 2^{-6-(-7)} + 2^{-7-(-7)}) = 2^{-7}(2^2 + 2^1 + 2^0) $.
Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:
$ \frac{2^5(1 + 2^1 + 2^2)}{2^{-7}(2^2 + 2^1 + 1)} $.
Выражения в скобках в числителе и знаменателе равны ($1 + 2 + 4 = 7$), поэтому мы можем их сократить:
$ \frac{2^5}{2^{-7}} $.
Используя свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $, получаем:
$ 2^{5 - (-7)} = 2^{5+7} = 2^{12} $.
Ответ: $2^{12}$