Номер 2.25, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.25. Сократите дробь:

1) $ \frac{3^n + 3^{-n}}{9^n + 1} $;

2) $ \frac{5^{n+1} - 5^n}{4} $;

3) $ \frac{(4^n + 4^{n-1})^2}{4^{2n-2}} $.

1) Исходная дробь: $\frac{3^n + 3^{-n}}{9^n + 1}$.

Преобразуем числитель дроби, используя свойство степени $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$:

$3^n + 3^{-n} = 3^n + \frac{1}{3^n} = \frac{(3^n)^2 + 1}{3^n} = \frac{3^{2n} + 1}{3^n}$.

Преобразуем знаменатель дроби, представив $9$ как $3^2$ и используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$:

$9^n + 1 = (3^2)^n + 1 = 3^{2n} + 1$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\frac{3^{2n} + 1}{3^n}}{3^{2n} + 1} = \frac{3^{2n} + 1}{3^n \cdot (3^{2n} + 1)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(3^{2n} + 1)$:

$\frac{1}{3^n}$.

Это выражение также можно записать как $3^{-n}$.

Ответ: $3^{-n}$.

2) Исходная дробь: $\frac{5^{n+1} - 5^n}{4}$.

Преобразуем числитель, используя свойство степени $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$. Вынесем общий множитель $5^n$ за скобки:

$5^{n+1} - 5^n = 5^n \cdot 5^1 - 5^n \cdot 1 = 5^n(5 - 1) = 5^n \cdot 4$.

Подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$\frac{5^n \cdot 4}{4}$.

Сократим дробь на 4:

$5^n$.

Ответ: $5^n$.

3) Исходная дробь: $\frac{(4^n + 4^{n-1})^2}{4^{2n-2}}$.

Используем свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$, чтобы преобразовать знаменатель:

$4^{2n-2} = 4^{2(n-1)} = (4^{n-1})^2$.

Подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь:

$\frac{(4^n + 4^{n-1})^2}{(4^{n-1})^2}$.

Используя свойство дроби $\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m$, запишем все выражение под одним знаком квадрата:

$\left(\frac{4^n + 4^{n-1}}{4^{n-1}}\right)^2$.

Теперь упростим выражение в скобках, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{4^n + 4^{n-1}}{4^{n-1}} = \frac{4^n}{4^{n-1}} + \frac{4^{n-1}}{4^{n-1}}$.

Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, получаем:

$4^{n-(n-1)} + 1 = 4^{n-n+1} + 1 = 4^1 + 1 = 4+1 = 5$.

Возведем полученный результат в квадрат:

$5^2 = 25$.

Ответ: $25$.