Номер 2.27, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.27. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}} $;

2) $ \frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9} $.

1) Найдем значение выражения $ \frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}} $. Для этого преобразуем его, используя свойства степеней.

Разложим основания 4 и 6 на простые множители: $ 4 = 2^2 $ и $ 6 = 2 \cdot 3 $. Подставим это в выражение:

$ \frac{(2^2)^3 \cdot 3^{10}}{(2 \cdot 3)^{10}} $

Применим свойство возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{mn} $ и свойство возведения произведения в степень $ (ab)^n = a^n b^n $:

$ \frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}} $

Сократим дробь на общий множитель $ 3^{10} $ и применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{2^6}{2^{10}} = 2^{6-10} = 2^{-4} $

Используя определение степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, вычисляем конечный результат:

$ 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} $

Ответ: $ \frac{1}{16} $.

2) Найдем значение выражения $ \frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9} $.

Разложим основания 6 и 9 на простые множители: $ 6 = 2 \cdot 3 $ и $ 9 = 3^2 $. Подставим в выражение:

$ \frac{2^6 \cdot (2 \cdot 3)^{18}}{2^{25} \cdot (3^2)^9} $

Применим свойства степеней $ (ab)^n = a^n b^n $ и $ (a^m)^n = a^{mn} $:

$ \frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{2 \cdot 9}} = \frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} $

В числителе применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ \frac{2^{6+18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} = \frac{2^{24} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} $

Сократим дробь на $ 3^{18} $ и применим свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{2^{24}}{2^{25}} = 2^{24-25} = 2^{-1} $

По определению степени с отрицательным показателем, получаем результат:

$ 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $.